4 Weibull-verteilte Zufallszahlen

Die Weibull-Verteilung ist die Grenzverteilung des Minimums unabhängig verteilter Zufallsgrößen. Sie findet vor allem Anwendung in der Zuverlässigkeitstheorie. So ist die Ausfallratenfunktion $r(t)$ für ein Bauelement (bzw. die Sterblichkeitsrate, Gefahrenrate oder Intensitätsrate) zum Zeitpunkt $t>0$ durch $$\begin{equation} r(t)=\frac{F'(t)}{1-F(t)}\label{eq:URE:Zuverlaessigkeit:Ausfallrate} \end{equation}$$ gegeben. Die Verteilungsfunktion bestimmt sich mit der Ausfallratenfunktion aus $$F(t)=1-\mathrm{e}^{-\intop_{0}^{t}\mathrm{d}t'\,r(t')}.$$ Im Fall der Exponentialverteilung erhält man eine konstante Ausfallrate $r(t)\equiv\lambda$ , im Falle der Weibull-Verteilung hingegen, z. B. infolge der Alterung des Systems, eine zeitabhängig Ausfallratenfunktion $$r(t)=\alpha\lambda(\lambda t)^{\alpha-1}.$$ Der Parameter $\alpha$ bestimmt das Verhalten der Ausfallratenfunktion für große Zeiten. Es wird instabiler oder stabiler, nachdem ob $\alpha>1$ ist, dann steigt die Ausfallrate bis ins Unendliche (Verschleiß), $\alpha=1$ ist (siehe Exponentialverteilung), dann bleibt sie konstant oder $\alpha<1$ ist, dann fällt sie auf Null (Härtung).

$$\begin{equation} F(t;\lambda,\beta)=1-\exp\left(-\left(\lambda(T)\thinspace t\right)^{\beta}\right)\label{eq:Weib} \end{equation}$$ mit den Parametern $\lambda(T)$ und $\beta$ angenommen. Der Parameter $$\lambda(T)=\frac{\lambda(70\mathrm{\text{°}C})}{x}$$ hängt über $$x(T)=1,5^{\frac{70\mathrm{\text{°}C}-T}{10\mathrm{\text{°}C}}}$$ von der Betriebstemperatur $T$ ab, wobei die Temperatur in $\mathrm{\text{°}C}$ gemessen wird. Es ist $x(70\mathrm{\text{°}C})=1,5^{0}=1$ Der reziproke Wert $\theta$ des Parameters $\lambda$ gibt die Zeit dafür an, dass der Anteil $F=1-\mathrm{e}^{-1}\approx0,632$ der Lüfter ausgefallen ist. Wegen $$\theta(T)=\theta(70\mathrm{\text{°}C})\thinspace x(T)$$ steigt die Lebensdauer mit abnehmender Temperatur, z.B. bei $60\mathrm{\text{°}C}$ um den Faktor 1,5.

Möchte man die praxisrelevante Zeitdauer $L10$ dafür bestimmen, dass 10% der Lüfter ausgefallen sind ($F=0,1$ ) bzw. nicht der Spezifikation genügen, berechnet sich diese aus (\ref{eq:Weib}↓) mit $$\exp\left(-\left(\lambda(T)\thinspace L10\right)^{\beta}\right)=0,9$$ zu $$L10=\frac{1}{\lambda(T)}\left(-\ln0,9\right)^{\frac{1}{\beta}}$$ bzw. $$L10=\theta(70\mathrm{\text{°}C})\thinspace x(T)\thinspace\left(-\ln0,9\right)^{\frac{1}{\beta}}.$$ Es ist $-\ln0,9$ $\approx0,10536$ .