3 Zufallszahlen mit Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda>0$ ist eine stetige Verteilung für Werte $x\geq0$ und durch die Funktion $$F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x},\;\lambda>0$$ definiert. Sie besitzt die Dichtefunktion $f(x)=F'(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}$ . Für den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ gilt $$\mathrm{E}X=\frac{1}{\lambda}$$ und für die Varianz $$\mathrm{var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}.$$ Ihre Umkehrfunktion $y(x)=F^{-1}(x)$ ist gegeben durch $$y(x)=-\frac{1}{\lambda}\ln(1-x).$$ Ist nun $x$ eine im Intervall $[0,1)$ gleichverteilte Zufallszahl, so erhält man durch diese Transformation eine Zufallszahl mit exponentieller Verteilung. Da aber eine durch $1-x$ transformierte Zufallszahl ebenfalls gleichverteilt ist, erhält man die gewünschte Verteilung auch durch die Transformation $$\begin{equation} y(x)=-\frac{1}{\lambda}\ln x.\label{eq:URE:Zufallszahlen:Exponentialverteilt} \end{equation}$$ Diese erfordert die Berechnung des natürlichen Logarithmus, welcher aber auf modernen Prozessoren meist hardwaremäßig implementiert ist und schnell berechnet werden kann. Anwendung finden solche Zufallszahlen z. B. bei der Simulation von Wartezeiten für das erste Eintreffen eines Ereignisses oder der Lebensdauer von Bauteilen.