Das ebene Dreifachpendel

Wolfgang Eisenberg, Gerd-Wolfgang Reinicke, Uwe Renner

Original erschienen in [1], S. 77–104 (PDF-Kopie)

Inhalt

1. Einleitung

2. Beschreibung des Modells

3. Lagrange- und Hamilton-Formalismus

3.1 Der Lagrange-Formalismus

3.2 Der Hamilton-Formalismus

4. Näherungen

4.1 Die harmonische Näherung und nichtlineare Korrekturen für das Doppelpendel

4.2 Die harmonische Näherung und nichtlineare Korrekturen für das Dreifachpendel

5. Betrachtungen zur Stabilität

5.1 Lineare Lyapunov-Stabilität

5.2 Kriterium von Toda und Brumer

6. Bewegungsformen des Dreifachpendels – Periodizität und Chaos

6.1 Poincaré-Abbildung

6.2 Spektraldichte und Autokorrelation

6.3 Statistik der Wiederkehrzeiten

6.4 Darstellung durch zeitverzögerte Koordinaten

6. Ausblick

Zusammenfassung

In diesem Beitrag werden mit Hilfe des Lagrange- bzw. des Hamilton-Formalismus Möglichkeiten der theoretischen als auch der numerischen Behandlung hauptsächlich des Dreifachpendels vorgestellt. Dieses Mehrfachpendel zählt zu den Systemen mit hoher Dimensionalität und stellt daher eine Herausforderung an die Untersuchungsmethoden zur nichtlinearen Dynamik dar. Wie bei den meisten nichtlinearen Systemen solcher Komplexität reicht das Spektrum der Schwingungsformen von der reinen Periodizität bei kleiner bis hin zum Chaos mit zunehmender Anregung. Neben den Untersuchungsmethoden für die Phasenraumkoordinaten (Poincaré-Schnitt, Autokorrelation und Spektralanalyse der Zeitreihen, Darstellung in zeitverzögerten Koordinaten) wird eine zeitliche Methode zur Untersuchung von Wiederkehrereignissen vorgestellt. Die Zulässigkeit linearer Näherungen wird untersucht, und nichtlineare Korrekturen werden angegeben.

Literatur