Das Kontinuumsbild der Maxwellschen Theorie, mit dem das elektromagnetische Verhalten im Medium durch die Permittivität $\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ ($\varepsilon_{0}$ : elektrische Feldkonstante bzw. Permittivität des Vakuums, $\varepsilon_{r}$ : relative Permittivität bzw. relative Dielektrizitätskonstante) und die Permeabilität $\mu=\mu_{0}\mu_{r}$ ($\mu_{0}$ : magnetische Feldkonstante bzw. Vakuumpermeabilität, $\mu_{r}$ : relative Permabilität) sowie der Beziehung $\varepsilon_{0}\mu_{0}c^{2}=1$ oder durch den Brechungsindex $n$ und der Beziehung $n^{2}=\varepsilon\mu$ beschrieben werden kann, ist zur vollständigen Beschreibung der Signalausbreitung unzureichend, da die Verwendung der Phasengeschwindigkeit $v_{\mathrm{p}}:=\frac{c}{n}$ zur zeitlichen Beschreibung der Signalausbreitung ein falsches Bild vermittelt. Nach der mikroskopischen Elektronentheorie werden die physikalischen Eigenschaften im Medium als Abweichung vom Vakuumverhalten infolge der Wechselwirkungen der Strahlung mit den Ladungen beschrieben, wobei diese dem Feld Energie entziehenden und zum Mitschwingen angeregt werden und erst dann tritt eine Antwort auf das ursprüngliche Signal durch Erzeugung sekundärer Strahlung ein, wodurch die ursprüngliche durch die Überlagerung verändert werden kann. In der Einschwingphase, die unmittelbar mit der Signalankunft einsetzt, unterscheiden sich die physikalischen Eigenschaften des Mediums grundlegend von denen im zukünftigen stationären Zustand. Die Strahlen werden anfänglich nicht gebrochen, auch findet keine Dispersion statt. Es treten zunächst kurzwelliges Schwingungen mit sehr geringer Intensität ein, die Sommerfeld als Vorläufer bezeichnet ([1], S. 343). Die bekannten optischen Effekte wie Brechung und Polarisation sind erst nach einer gewissen Zeit mit der Herausbildung des stationären Zustandes definiert. Zur experimentellen Überprüfung seiner theoretischen Vorhersagen hielt sich Sommerfeld „wegen der Kleinheit der dabei in Betracht kommenden Energiemengen und der Kürze der erforderlichen Beobachtungszeiten” zurückhaltend. Erst viel Jahrzehnte später wurden erste Versuche zur experimentellen Überprüfung unternommen.

Auch die herkömmliche Definition der Gruppengeschwindigkeit $v_{\mathrm{g}}:=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}$ ($\omega$ : Kreisfrequenz, $k$ : Wellenzahl mit $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ und der Wellenlänge $\lambda$ ) ist zur Beschreibung der Signalausbreitung und des damit verbundenen Energietransportes ([2], S. 551ff.) wegen $k=\frac{\omega}{c}n$ und folglich $v_{\mathrm{g}}=v_{\mathrm{p}}\left(1+\frac{\lambda}{n}\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda}\right)$ in anomal dispersiven Medien mit $\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda}>0$ und insbesondere im Fall $v_{\mathrm{p}}>c$ ungeeignet, da sie ebenfalls größer als Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ werden kann. Den neuen Begriff der Signalgeschwindigkeit zur Beschreibung des Fortschreitens eines Signals definiert Sommerfeld noch unscharf „als diejenige Geschwindigkeit, mit der ein merkbarer Energiebetrag des Signals in einer gewissen Tiefe ankommt” und von der Empfindlichkeit des Empfängers abhängt. Bei einem idealen Detektor wäre sie gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit, siehe Bemerkung aus dem Jahre 1907. Für einen realen Detektor ist sie in Übereinstimmung mit der Relativitätstheorie stets kleiner als diese.

Für die Darstellung des Signalausbreitungsproblems verwendet Sommerfeld Methoden aus der Funktionentheorie. Am Beispiel des einfachen Signals $$\begin{equation} f(t)=\begin{cases} 0, & t<0\\ \sin\frac{2\pi t}{\tau}, & t\geqq0 \end{cases}\label{eq:Signal} \end{equation}$$ läßt sich zeigen, daß sich dieses ebenso durch Integration $$\begin{equation} f(x,t)=\frac{1}{\tau}\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{e^{-izt}}{z^{2}-(2\pi/\tau)^{2}}\label{eq:Signal_komplex_Integration} \end{equation}$$ auf einem zunächst beliebigen in der oberen Halbebene $\Im(z)>0$ von $z=+\infty$ nach $z=-\infty$ liegenden Weg darstellen läßt, den man entsprechend den Regeln der Funktionentheorie unter Beachtung der Singularitäten — um die der Weg herumgeführt werden muß — deformieren kann. Der weiterführende Ansatz von Sommerfeld ist, diese Darstellungsform auf die Fortpflanzung der Wellenfront im Medium auf die Form $$\begin{equation} f(x,t)=\frac{1}{\tau}\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{e^{-izt+ik(z)x}}{z^{2}-(2\pi/\tau)^{2}}\label{eq:Signaldarstellung_allgemein} \end{equation}$$ bzw. wie später in [5] verwendet, auf $$\begin{equation} f(x,t)=-\frac{1}{\tau}\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{e^{-izt+ik(z)x}}{z^{2}-(2\pi/\tau)^{2}}\label{eq:Signaldarstellung_allgemein_Lehrbuch} \end{equation}$$ zu übertragen, wobei für die Wellenzahl $k(z)$ die Dispersionsbeziehung $$\begin{equation} k(z)=\frac{z}{c}\,n(z)\label{eq:Dispersionsbeziehung} \end{equation}$$ besteht. Im Grenzfall $x\rightarrow+0$ erhält man wieder das aufgeprägte Signal. Für den komplexzahligen Brechungsindex $n(z)$ gilt nach der Lorentzschen Dispersionstheorie bei Vorhandensein einer Resonatorart mit der Resonatoreigenfrequenz $\omega_{0}$ die Abhängigkeit $$\begin{equation} n^{2}(z)=1+\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\omega_{0}^{2}-2i\varrho z-z^{2}}.\label{eq:Brechungsindex} \end{equation}$$ Hierbei ist $\omega_{\textrm{P}}=\frac{\rho_{e}e^{2}}{\varepsilon_{0}m_{e}}$ die „Plasmafrequenz” ($\rho_{e}$ : Elektronendichte, $e$ : Elementarladung, $m_{e}$ : Elektronenmasse, $\varepsilon_{0}$ : elektrische Feldkonstante) und $\varrho$ die Dämpfung. Die Gültigkeit der Dispersionstheorie extrapoliert Sommerfeld zum Zwecke der einfacheren theoretischen Beschreibung auf beliebig große Frequenzen. Mit den Gleichungen (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) und (\ref{eq:Dispersionsbeziehung}↓) sowie (\ref{eq:Brechungsindex}↓) kann dann der zeitliche Verlauf des Signals berechnet werden. Bei der Ausführung des Wegeintegrals müssen die sich aus dem Anregungssignal ergebenen Polstellen bei $p_{1,2}=\pm2\pi/\tau$ und die sich aus (\ref{eq:Brechungsindex}↓) ergebenden, bezüglich der imaginären Achse symmetrisch liegenden — sich sämtlich in der unter komplexen Halbebene befindenden Verzweigungsschnitte $(u_{1},\,n_{1})$ und $(u_{2},\,n_{2})$ mit $u_{1,2}=-i\varrho\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}-\varrho^{2}}$ (Singularität, $k=\infty$ ) und $n_{1,2}=-i\varrho\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}+\omega_{\textrm{P}}^{2}-\varrho^{2}}$ (Nullstelle, $k=0$ ) — entsprechend den Regeln der Funktionentheorie beachtet werden, d. h. bei der Deformation des Weges dürfen diese Stellen nicht übersprungen werden.

Zur weiteren Untersuchung ist es zweckmäßig die verzögerte (retardierte) Zeit $\mathfrak{t}=t-\frac{x}{c}$ einzuführen, so daß für $\mathfrak{t}<0$ der Ruhezustand herrscht und $\mathfrak{t}=0$ die Ankunft des Signals am Ort $x$ definiert. Für betragsmäßig sehr große $z$ , d. h.$\left|z\right|$ $\rightarrow\infty$ , ist der Exponent in (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) asymptotisch gleich $-iz(t-\frac{x}{c})=-iz\mathfrak{t}$ , so daß in der oberen komplexen Halbebene der Realteil im Falle $\mathfrak{t}<0$ stets negativ wird. Folglich kann man den Integrationsweg in das Unendliche der oberen Halbebene verlagern, wodurch das Integral und damit das Signal wie gefordert verschwindet. Für $\mathfrak{t}>0$ sollte man nach der Vorstellung von Sommerfeld versuchen, den Integrationsweg in die untere komplexen Halbebene nach Unendlich zu verlagern. Jedoch muß man diesen wegen der Verzweigungsschnitte und der Singularitäten in mehrere Teile zerlegen, wobei sich vorteilhafterweise gegenläufige Wegeintegrale aufheben.

Der von den Polstellen $p_{1,2}$ sich ergebene residuale Integralanteil, an denen $k$ die komplexzahligen Werte $k_{1}$ und $k_{2}$ annimmt, läßt sich leicht berechnen. Mit der Wellenlänge $\lambda$ und dem Absorptionsindex $\kappa$ ist an diesen Stellen $k_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}(1+i\kappa)$ bzw. $k_{2}=-\frac{2\pi}{\lambda}(1-i\kappa)$ . Bezeichnet $I$ den noch zu bestimmen Integralanteil aus den Verzweigungsschnitten, so erhält man für große (retardierte) Zeiten $$\begin{equation} f(x,t)=\textrm{e}^{-2\pi\kappa\frac{x}{\lambda}}\sin2\pi\left(\frac{t}{\tau}-\frac{x}{\lambda}\right)+I,\label{eq:Signal_grosse_Zeiten} \end{equation}$$ wobei der erste Term die stationäre und je nach Eindringtiefe gedämpfte, erzwungene Schwingung mit einer Phasengeschwindigkeit $v=\frac{\lambda}{\tau}$ beschreibt. Der hintere Term $I$ beschreibt den freien Anteil der Schwingung, welche den ersteren überlagert. Man beachte aber, daß das Signal bereits bei $t=x/c$ einsetzt und nicht erst nach $t=x/v$ . Zu letzterer Annahme käme man, wenn man die Phasengeschwindigkeit fälschlich als Ausbreitungsgeschwindigkeit interpretiert.

Das nichttriviale zeitliche Verhalten im rechten Halbraumes $x>0$ (Medium) müßte sich auch im linken Halbraum $x<0$ (Vakuum) über das zeitlichen Reflexionsverhalten bemerkbar machen, weil die Reflexion mikroskopischen betrachtet kein reiner Randeffekt ist. Denn in dispersiven Medium werden bei der Wechselwirkung auch Wellen entgegengesetzt der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung erzeugt, welche die Anteile aus der Randschicht überlagern, worauf schon Esmarch [3] im Jahre 1913 hingewiesen hat.

Eine analoge Beziehung zu (\ref{eq:Energiebilanz}↓) läßt sich wegen der Linearität der Maxwell-Gleichungen (\ref{eq:Maxwell1}↓--\ref{eq:Maxwell2}↓) und der Bewegungsgleichung (\ref{eq:Bewegungsgleichung}↓) auch für die Differenzen $\delta\vec{E}=\vec{E}_{2}-\vec{E}_{1}$ ,$\delta\vec{H}=\vec{H}_{2}-\vec{H}_{1}$ ,$\delta\vec{s}=\vec{s}_{2}-\vec{s}_{1}$ zweier als verschieden angenommener Lösungen $\left\{ \vec{E}_{1},\vec{H}_{1},\vec{s}_{1}\right\}$ und $\left\{ \vec{E}_{2},\vec{H}_{2},\vec{s}_{2}\right\}$ formulieren, d. h. $$\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_{0}\delta\vec{H}\cdot\delta\vec{H}+\varepsilon_{0}\delta\vec{E}\cdot\delta\vec{E}\right)+\frac{n}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(m\delta\dot{\vec{s}}\cdot\delta\dot{\vec{s}}+f\delta\vec{s}\cdot\delta\vec{s}\right)+2hn\delta\dot{\vec{s}}\cdot\delta\dot{\vec{s}}=-\nabla\cdot\delta\vec{S}.$$ Sie läßt sich dazu verwenden, um auf die Eindeutigkeit der Lösung bei Vorgabe identischer Anfangs- und der Randbedingungen zu schließen. Integriert man über das Volumen, daß durch die Ebenen $x_{1}$ und $x_{2}$ ($x_{1}<x_{2}$ ) begrenzt wird, sowie über die Zeit von 0 bis $t$ und fordert für $t>0$ , daß beide Lösungen an den Rändern gleich sind, insbesondere sei dort $\vec{E}_{1}(x_{1},y,z;t)\equiv\vec{E}_{2}(x_{1},y,z;t)$ und $\vec{E}_{1}(x_{2},y,z;t)\equiv\vec{E}_{2}(x_{2},y,z;t)$ sowie $\vec{H}_{1}(x_{1},y,z;t)\equiv\vec{H}_{2}(x_{1},y,z;t)$ und $\vec{H}_{1}(x_{2},y,z;t)\equiv\vec{H}_{2}(x_{2},y,z;t)$ , so muß $$\begin{equation} \int_{0}^{t}\textrm{d}t\iint_{\partial V}\delta\vec{S}=0\label{eq:Randbedingung_Fluss} \end{equation}$$ wegen der Gleichheit der Energieflußdichte auf dem Rand gelten und folglich $$\left.\begin{array}{l} \frac{1}{2}\iiint\textrm{d}V\left[\left(\mu_{0}\delta\vec{H}\cdot\delta\vec{H}+\varepsilon_{0}\delta\vec{E}\cdot\delta\vec{E}\right)+n\left(m\delta\dot{\vec{s}}\cdot\delta\dot{\vec{s}}+f\delta\vec{s}\cdot\delta\vec{s}\right)\right]_{0}^{t}+\\ 2h\int_{0}^{t}\textrm{d}t\iiint\textrm{d}Vn\delta\dot{\vec{s}}\cdot\delta\dot{\vec{s}} \end{array}\right\} =0.$$ Für $t=0$ besitzen die Bewegungszustände Ort und Geschwindigkeit der Ladungen im Inneren des Gebietes gleichfalls identische Anfangsbedingungen ($\vec{s}_{1}(0)=\vec{s}_{2}(0)$ , $\dot{\vec{s}}_{1}(0)=\dot{\vec{s}}_{2}(0)$ ), so daß $$\left.\begin{array}{l} \frac{1}{2}\iiint\textrm{d}V\left(\mu_{0}\delta\vec{H}\cdot\delta\vec{H}+\varepsilon_{0}\delta\vec{E}\cdot\delta\vec{E}\right)+\\ \frac{n}{2}\iiint\textrm{d}V\left(m\delta\dot{\vec{s}}\cdot\delta\dot{\vec{s}}+f\delta\vec{s}\cdot\delta\vec{s}\right)+\\ 2h\int_{0}^{t}\textrm{d}t\iiint\textrm{d}Vn\,\delta\dot{\vec{s}}\cdot\delta\dot{\vec{s}} \end{array}\right\} =0$$ zu fordern ist. Da keiner der Terme auf der linken Seite negativ werden kann, muß $\delta\vec{H}=0$ , $\delta\vec{E}=0$ und $\delta\vec{s}=0$ sein. Somit sind beide Lösungen auch im Inneren des Gebietes identisch, womit die Eindeutigkeit der Lösung bewiesen wurde.

Möge der Raum wie oben beschrieben in zwei Gebiete unterteilt und am linken Rand $x=0$ die Lösung zu allen Zeiten $t\geq0$ vorgegeben sein. Das Gebiet $x>0$ läßt sich durch die aufeinanderfolgenden Zeitpunkte $t_{i}$ ($i=1,\,2,\ldots$ ) und den daraus resultierenden Trennflächen $x_{i}=ct_{i}$ in aneinander grenzende Segmente zerlegen. Für $t=t_{i}$ muß aufgrund der Kausalitätsforderung in $x\geq x_{i}$ der Ruhezustand gelten. Ist die Lösung im Gebiet $0<x\leq x_{i}$ für $0<t\leq t_{i}$ einschließlich der Grenzfläche $x_{i}$ eindeutig, dann ist sie dies in $0<x\leq x_{i+1}$ auch für $t_{i+1}\geq t>0$ , weil dann am rechten Rand $x_{i+1}$ für $t\leq t_{i+1}$ der Ruhezustand zu fordern ist. Analoges gilt schrittweise für alle angrenzenden Segmente, die zudem beliebig dünn gemacht werden können. Die durch (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) gegebene Funktion etwa für die elektrische Feldstärkekomponente $$E_{y}(x,t)=E_{y}^{0}\frac{1}{\tau}\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{e^{-izt+ik(z)x}}{z^{2}-(2\pi/\tau)^{2}}$$ erfüllt diese Bedingungen und ist somit eindeutig.

$$\begin{equation} f(x,t)=\frac{1}{\tau}\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{\textrm{e}^{-iz\mathfrak{t}+iK(z)x}}{z^{2}-(2\pi/\tau)^{2}}\label{eq:Signal_Integraldarstellung_2} \end{equation}$$ ausgedrückt. Außerdem wird die Dämpfung vernachlässigt, d. h. es ist $\varrho=0$ . Der Ausdruck $K(z)$ läßt sich für betragsmäßig große $z$ , d. h. $\left|z\right|\gg2\pi/\tau$ , als Potenzreihe in $1/z$ darstellen, so daß man mit $\xi=\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{2c}\,x>0$ asymptotisch $$\begin{equation} K(z)\,x\approx-\frac{\xi}{z}\label{eq:Naeherung} \end{equation}$$ erhält. Das Signal kann dann durch $$f(x,t)\approx\frac{1}{\tau}\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{\textrm{e}^{-i\left(z\mathfrak{t}+\frac{\xi}{z}\right)}}{z^{2}}$$ genähert werden. Für solche $z$ ist der Realteil des Exponenten in der unteren komplexen Halbebene negativ und eine Wegeintegration in diesem Gebiet von $-\infty$ nach $+\infty$ würde keinen Beitrag liefern, so daß man die Integration zu einen geschlossenen Umlauf $\mathcal{C}^{-}$ im entgegengesetzten Uhrzeigersinn ergänzen kann. Somit wird $$\begin{equation} f(x,t)\approx\frac{1}{\tau}\oint_{\mathcal{C}^{-}}\,\frac{\textrm{d}z}{z^{2}}\,\textrm{e}^{-i\sqrt{\mathfrak{t}\xi}\left(z\sqrt{\frac{\mathfrak{t}}{\xi}}+\frac{1}{z}\sqrt{\frac{\xi}{\mathfrak{t}}}\right)}\label{eq:Umlauf} \end{equation}$$ und durch die Transformation $z=-\sqrt{\frac{\xi}{\mathfrak{t}}}\textrm{e}^{iw}$ gelangt man zur Darstellung $$f(x,t)\approx-\frac{i}{\tau}\sqrt{\frac{\mathfrak{t}}{\xi}}\intop_{\mathcal{W}}\textrm{d}w\,\textrm{e}^{-iw}\textrm{e}^{2i\sqrt{\mathfrak{t}\xi}\cos w},$$ wobei die Wahl des Weges $\mathcal{W}$ in der $w-$ Ebene derart erfolgen muß, daß wieder ein geschlossener Umlauf $\mathcal{C}^{-}$ im entgegengesetzten Uhrzeigersinn in der $z-$ Ebene resultiert. Nimmt man die Werte von $w$ aus dem Intervall $[-\pi,\pi)$ entlang der reellen Achse, dann ergibt sich ein Vollkreis in der $z-$ Ebene. Um der Forderung nach betragsmäßig großem $z$ zu genügen, muß $\mathfrak{t}$ wie ursprünglich gefordert bei festem $\xi$ sehr klein sein. Das Signal besitzt dann die Form $$f(x,t)\approx-\frac{i}{\tau}\sqrt{\frac{\mathfrak{t}}{\xi}}\,\intop_{-\pi}^{\pi}\,\textrm{d}w\,\textrm{e}^{-iw}\textrm{e}^{2i\sqrt{\mathfrak{t}\xi}\cos w}=-\frac{2i}{\tau}\sqrt{\frac{\mathfrak{t}}{\xi}}\,\intop_{0}^{\pi}\,\textrm{d}w\,\cos w\,\textrm{e}^{2i\sqrt{\mathfrak{t}\xi}\cos w}.$$ Nach ([6], S. 360, Formel 9.1.21) ist $$J_{n}(z)=\frac{i^{-n}}{\pi}\intop_{0}^{\pi}\textrm{d}\vartheta\cos\left(n\theta\right)\textrm{e}^{iz\cos\theta}$$ die Integraldarstellung der Bessel-Funktion erster Art mit ganzzahligem Index $n$ . Durch Vergleich erhält man schließlich $$\begin{equation} f(x,t)\approx\frac{2\pi}{\tau}\sqrt{\frac{\mathfrak{t}}{\xi}}J_{1}\left(2\sqrt{\xi\mathfrak{t}}\right).\label{eq:Sommerfeld_Vorlaeufer} \end{equation}$$ Dies ist der von Sommerfeld gefundene Vorläufer, siehe Abb. 1↓. Außer in der Amplitude hängt der Verlauf dieses anfänglichen Signalabschnittes nicht von der Periodendauer $\tau$ des eintreffenden Signals ab, sondern vielmehr vom Ort $x$ und falls man das Austreten des resultierenden Signals aus einer dünnen Schicht beobachtet von deren Dicke. Das abgeleitete zeitliche Anfangsverhalten muß man jedoch mit Vorbehalt betrachten, da dieses auch aus der Extrapolation des Brechungsindex in den höherfrequenten Bereich resultiert. Dennoch sollten anfänglich Schwingungen mit kürzeren „Periodendauern” als die der Anregung möglich sein, die aber eine sehr geringe Intensität aufweisen.

Im Jahre 1914 aktualisierte Sommerfeld in [4] die Ausführungen aus dem Jahre 1912, indem er die Untersuchungen von L. Brillouin berücksichtigte, die im selbigen Band der Annalen der Physik im Anschluß veröffentlicht wurden. Auch konkretisiert er seine Betrachtung zur Eignung der Gruppengeschwindigkeit für die Beschreibung der Signalausbreitung und verweist auf die von Brillouin gefundene praktische Übereinstimmung von Signalgeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit in dem Fall, wenn die Wellenlänge des einfallenden Signals sehr verschieden von der Eigenfrequenz $\omega_{0}$ ist, also außerhalb des Absorptionsstreifens liegt. Die Darstellung des Anregungssignals (\ref{eq:Signal}↓) erfolgte um Unterschied zu früher durch (Realteil $\Re$ ) $$\begin{equation} f(t)=\frac{1}{2\pi}\Re\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{e^{-izt}}{z-\frac{2\pi}{\tau}},\label{eq:Signal_komplex_Integration2} \end{equation}$$ welche aber zu (\ref{eq:Signal_komplex_Integration}↓) äquivalent ist. Man kann sie sich als Erweiterung der Fourierschen Integraldarstellung eines beidseitig begrenzte Rechtecksignals vorstellen. Die allgemeine Signaldarstellung für $f(x,t)$ wird als Erweiterung von (\ref{eq:Signal_komplex_Integration2}↓) durch $$\begin{equation} f(x,t)=\frac{1}{2\pi}\Re\intop_{\overset{\infty}{\Im(z)>0}}^{-\infty}\,\textrm{d}z\,\frac{e^{-izt+ik(z)x}}{z-\frac{2\pi}{\tau}}\label{eq:Signaldarstellung_allgemein_Realteil} \end{equation}$$ angegeben. Die Integration erfolgt weiterhin in der oberen komplexen Ebene. Man beweist die zu (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) identische Darstellung, indem man zunächst zeigt, daß $\overline{k(z)}=-k(-\bar{z})$ gilt und für den entsprechenden Integrationsterm die Substitution $w=-\bar{z}$ anwendet. Es ist jedoch das wegen des Terms $z^{-1}$ für betragsmäßig große $z$ schlechtere Konvergenzverhalten des Integrals gegenüber der ursprünglichen Darstellung (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓), in welcher $z^{-2}$ vorkommt, zu beachten. Formal ließe sich die Wegeintegration auf zwei verbundene Pfade aufteilen, wobei für große Argumente (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) verwendet wird.