8 Beta-Verteilung

Die Beta-Verteilung mit den Parameter $a,\,b\in\mathbb{R}^{+}$ ist für Werte $x\in[0,1]$ durch die Verteilungsfunktion $$F(x)=\frac{1}{B(a,b)}\,\intop_{0}^{x}\mathrm{d}t\,t^{a-1}(1-t)^{b-1},$$ definiert, mit $$f(x)=\frac{1}{B(a,b)}\,x^{a-1}(1-x)^{b-1}$$ als Dichtefunktion und $$B(a,b)=\intop_{0}^{1}\mathrm{d}x\,x^{a-1}(1-x)^{b-1}=\frac{\mathit{\Gamma}(a)\mathit{\Gamma}(b)}{\mathit{\Gamma}(a+b)}$$ ist die Beta-Funktion, die sich durch die Gamma-Funktion $\mathit{\Gamma}$ darstellen lässt. Für den Erwartungswert der Zufallswerte $X$ gilt $$\mathrm{E}X=\frac{a}{a+b}$$ und sie besitzen die Varianz $$\mathrm{var}(X)=\frac{ab}{(a+b)^{2}(a+b+1)}.$$