6 Die $t$ -Verteilung (Student-Verteilung)

Die von W. S. Gosset unter dem Pseudonym Student veröffentlichte Verteilung mit dem ganzzahligen Parameter $f>0$ (Freiheitsgrade) besitzt für Werte $x\in\mathbb{R}$ die Verteilungsfunktion $$G(x)=\frac{1}{\sqrt{f}B\left(\frac{1}{2},\frac{f}{2}\right)}\intop_{-\infty}^{x}\mathrm{d}t\,\left(1+\frac{t^{2}}{f}\right)^{-\frac{f+1}{2}}$$ und die Dichte $$g(x)=\frac{1}{\sqrt{f}B\left(\frac{1}{2},\frac{f}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{f}\right)^{-\frac{f+1}{2}},$$ wobei $B$ die Betafunktion ist. Für den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ gilt $$\mathrm{E}X=0,\;f>1$$ und für die Varianz $$\mathrm{var}(X)=\frac{f}{f-2},\;f>2.$$ Der Erwartungswerte und die Varianz existieren nicht für den Parameter $f=1$ (Cauchy-Verteilung).