12 Poisson-verteilte Zufallszahlen

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Verteilung für die Ereignisse $X=k$ mit $k\in\mathbb{N}$ und dem Parameter $\lambda>0$ , wobei die Wahrscheinlichkeit durch $$\begin{equation} p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\label{eq:URE:Zufallszahlen:Poisson} \end{equation}$$ gegeben ist. Für den Erwartungswert gilt $$\mathrm{E}X=\sum_{k=1}^{\infty}k\,p_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}k\frac{\lambda^{k}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda$$ und ebenfalls für die Varianz ist $$\mathrm{var}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-\mathrm{(E}X)^{2}=\lambda,$$ da $$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}(X^{2}) & = & \sum_{k=1}^{\infty}k^{2}\frac{\lambda^{k}}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}\\ & = & \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}k\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}\\ & = & \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}(k-1+1)\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}\\ & = & \mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k-2)!}+\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}\\ & = & \lambda^{2}+\lambda. \end{eqnarray*}$$ Die Poisson-Verteilung ist mit $\lambda=np$ im Falle kleiner $p\rightarrow0$ und großer $n\rightarrow\infty$ näherungsweise gleich der Binomialverteilung. Für kleine Werte $\lambda$ kann man die diskrete Zufallszahl $k$ wie folgt bestimmen: Dazu bilde man die Summe exponentialverteilter Zufallszahlen mit dem Mittelwert 1 solange, bis $\lambda$ überschritten wird. Die Zahl der Summanden verringert um 1 ergibt eine mit dem Parameter $\lambda$ Poisson-verteilte Zufallszahl. Dies folgt daraus, da die Poisson-Verteilung die $k-1$ fache Faltung der Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda$ ist. Anstelle der $k$ -fachen Bildung des Logarithmus und der anschließenden Addition kann man das Verfahren dadurch beschleunigen, indem man iterativ das Produkt der Zufallszahlen bildet. Ist dieses im Schritte $k+1$ multipliziert mit der Konstanten $\mathrm{e}^{\lambda}$ kleiner als 1 so ist $k$ die gesucht Zufallszahl. Die Prozedur ist aber nur sinnvoll für kleine Mittelwerte $\lambda$ . Poisson-verteilte Zufallszahlen $k$ kann man auch mittels der Verwerfungsmethode – durch die Wahl einer geeigneten kontinuierlichen Dichtefunktion mit den hierfür erforderlichen Bedingungen – erhalten, wobei die ganzzahligen Anteile der ermittelten Zufallszahlen genommen werden. Für große Parameterwerte $\lambda$ ist die Dichtefunktion näherungsweise glockenförmig und man kann auch die Verhältnismethode zur Erzeugung der Zufallszahlen anwenden. [1, 2, 20]