10 Normalverteilte (Gauß-verteilte) Zufallszahlen

Nach dem zentralen Grenzwertsatz kann man durch die Summation einer hinreichend großen Anzahl $N$ (z. B. 12) identisch verteilter Zufallszahlen $X$ mit den Werten $x_{i}$ und $\mathrm{E}X=0$ sowie der Streuung $\sigma^{2}=1$ näherungsweise Standard-normalverteilte Zufallszahlen $Y$ mit dem Wert $y$ durch die Vorschrift $$y=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^{N}x_{i}$$ erzeugen. Diese erhält man z. B. aus im Intervall $[0,1)$ gleichverteilte Zufallszahlen $Z$ durch die Transformation $$x_{i}=\sqrt{12}\left(z_{i}-\frac{1}{2}\right).$$ Wollte man mit der Transformations-Methode (s. Abschnitt 1.1↑) normalverteilte Zufallszahlen erzeugen, so würde dies die Berechnung der Umkehrfunktion der Fehlerfunktion erfordern. Dies ist nicht nur sehr zeitaufwändig, sondern auch numerisch nicht unproblematisch. Statt dessen gibt es ein einfaches Verfahren, die Box-Muller-Methode, bei dem solche Zufallszahlen nach der standardisierten Normalverteilung $N(0,1)$ aus einer zweidimensionalen Transformation gleichverteilter Zufallszahlen mit $y_{1}\in[0,1)$ und $y_{2}\in[0,1)$ gewonnen werden können. Eine solche Transformationen lautet $$\begin{eqnarray} x_{1} & = & \sqrt{-2\ln y_{1}}\cos2\pi y_{2}\label{eq:URE:Zufallszahlen:Gaussverteilt1}\\ x_{2} & = & \sqrt{-2\ln y_{1}}\sin2\pi y_{2.}\nonumber \end{eqnarray}$$ mit $x_{1},x_{2}\in[-\infty,\infty]$ . Sie besitzt die Umkehrung $$\begin{eqnarray*} y_{1} & = & \mathrm{e}^{-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}\\ y_{2} & = & \frac{1}{2\pi}\arctan\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right). \end{eqnarray*}$$ Zum Beweis wird angenommen, dass $x_{1}$ und $x_{2}$ unabhängig normalverteilt sind. Die zugehörige Verteilungsfunktion lautet: $$F(\xi_{1},\xi_{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intop_{0}^{\xi_{1}}\mathrm{d}x_{1}\mathrm{e}^{-\frac{x_{1}^{2}}{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intop_{0}^{\xi_{2}}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{e}^{-\frac{x_{2}^{2}}{2}}=\frac{1}{2\pi}\intop_{0}^{\xi_{1}}\mathrm{d}x_{1}\intop_{0}^{\xi_{2}}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{e}^{-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}.$$ Durch Integraltransformation zu den neuen Koordinaten $y_{1}$ und $y_{2}$ mit der Funktionaldeterminanten $$\left|\frac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(y_{1},y_{2})}\right|=\frac{2\pi}{q_{1}}$$ gelangt man zu der Darstellung $$F(\eta_{1},\eta_{2})=\intop_{0}^{\eta_{1}}\mathrm{d}x_{1}\intop_{0}^{\eta_{2}}\mathrm{d}x_{2},$$ welches die Verteilung zweier gleichverteilter Zufallsgrößen ist. Es werden jeweils zwei gleichverteilte Zufallszahlen $q_{1}$ und $q_{2}$ gezogen und man erhält über die Transformationsmethode zwei normalverteilte Zufallsgrößen. Die $\cos$ - und die $\sin$ -Funktion sind auf modernen Prozessoren fest implementiert und können sehr schnell berechnet werden, womit man auch ein relativ schnelles Verfahren zur Berechnung normalverteilter Zufallszahlen besitzt.

Möchte man auf die Berechnung der trigonometrischen Funktionen verzichten, so bietet die Methode von Marsaglia einen Ausweg. Hierzu bestimmt man zwei im Intervall $(-1,1)$ gleichverteilte Zufallszahlen $y_{1}$ und $y_{2}$ . Fällt die Summe der Quadrate $S=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ in den Einheitskreis, d. h. ist $S<1$ , so erhält man mit $$\begin{eqnarray} x_{1} & = & y_{1}\sqrt{\frac{-2\ln R}{R}}\label{eq:URE:Zufallszahlen:Gaussverteilt2}\\ x_{2} & = & y_{2}\sqrt{\frac{-2\ln R}{R}}\nonumber \end{eqnarray}$$ zwei mit $N(0,1)$ verteilte Zufallszahlen. Benötigt man Zufallszahlen mit der Verteilung $N(\mu,\sigma^{2})$ , so lassen sich diese mit (\ref{eq:URE:Zufallszahlen:Gaussverteilt1}↓) oder (\ref{eq:URE:Zufallszahlen:Gaussverteilt2}↓) durch lineare Transformation $$z=\mu+\sigma x$$ gewinnen. Für den Erwartungswert der Zufallsgröße $Z$ gilt dann $EX=\mu$ und für die Varianz $\mathrm{var}(X)=\sigma^{2}.$

Viele in der Natur messbare Größen wie etwa Längen biologischer Objekte im ausgewachsenen Zustand variieren zumindest näherungsweise nach dem Normal- bzw. Gauß-Verteilungsgesetz. Die Normalverteilung beschreibt viele stochastische Prozesse der Physik wie etwa Diffusionsprozesse oder Linienverbreiterungen in der Spektroskopie.