Die zeitliche Autokorrelationsfunktion $K_{XX}(\tau)$ beschreibt die Korrelation zweier um die Differenz $\tau$ verschobener Prozesswerte desselben stochastischen Prozesses $X(t)$ . Sie wird mittels der konjugiert komplexen Größe $X^{*}$ über den zeitlichen Mittelwert $\left\langle \cdots\right\rangle _{t}$ durch $$\begin{equation} K(\tau)=K_{XX}(\tau)=\left\langle X(t)X^{*}(t+\tau)\right\rangle _{t}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\intop_{-\infty}^{\infty}X_{T}(t)X_{T}^{*}(t+\tau)\,\mathrm{d}t\label{eq:URE:Autokorrelationsfunktion} \end{equation}$$ definiert und besitzt die Symmetrieeigenschaft $K(\tau)=K(-\tau)$ . Sie ist wegen $K(\tau)=K^{*}(\tau)$ stets reell. Für $\tau=0$ nimmt sie ihr Maximum an und muss für $\tau\rightarrow\infty$ verschwinden, d. h. $\lim_{\tau\rightarrow\infty}K(\tau)=0$ . Oftmals lassen sich die Prozesse näherungsweise durch eine exponentiell fallende Korrelationsfunktion beschreiben.

Man kann die Autokorrelationsfunktion jedoch auch zu den zwei Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ über das Ensemblemittel $\left\langle \left\langle \ldots\right\rangle \right\rangle$ über die Realisierungen des Prozesses durch $$\begin{equation} K_{XX}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left\langle X(t_{1})X(t_{2})\right\rangle \right\rangle \label{eq:URE:Autokorrelation2} \end{equation}$$ definieren. Im Falle zweier unterschiedlicher reelwertiger Prozesse $X(t)$ und $Y(t)$ mit $\left\langle X_{t}\right\rangle =0$ bzw. $\left\langle Y_{t}\right\rangle =0$ lässt sich die zeitliche Kreuzkorrelationsfunktion durch $$\begin{equation} K_{XY}(\tau)=\left\langle X(t)Y(t+\tau)\right\rangle _{t}\label{eq:URE:Kreuzkorrelationsfunktion} \end{equation}$$ bzw. durch $$\begin{equation} K_{XY}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left\langle X(t_{1})Y(t_{2})\right\rangle \right\rangle \label{eq:URE:Kreutzkorrelation2} \end{equation}$$ bestimmen. Mittels der Fourier-Transformation $$\xi_{T}(\nu)=\intop_{-\infty}^{\infty}X_{T}(t)\,\mathrm{e}^{2\pi i\nu t}\mathrm{d}t$$ der im Zeitfenster $T$ definierten Funktion $X_{T}(t)$ lässt sich die Spektraldichte (Leistungsspektrum) $S_{XX}(\nu)$ bzw. $S(\nu)$ durch $$\begin{equation} S_{XX}(\nu)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\left|\xi_{T}(\nu)\right|^{2}\label{eq:URE:Spektraldichte} \end{equation}$$ definieren und es gilt die Beziehung $$\left\langle X(t)X^{*}(t)\right\rangle _{t}=\intop_{-\infty}^{\infty}S_{XX}(\nu)\,\mathrm{d}\nu.$$ Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem bestehen zwischen der Autokorrelationsfunktion $K(\tau)$ und der Spektraldichte $S(\nu)$ die Zusammenhänge $$K(\tau)=\intop_{-\infty}^{\infty}S(\nu)\,\mathrm{e}^{2\pi i\nu t}\mathrm{d}\nu\quad\textrm{bzw.}\quad S(\nu)=\intop_{-\infty}^{\infty}K(\tau)\,\mathrm{e}^{-2\pi i\nu t}\mathrm{d}\tau.$$ Die zuvor erwähnten exponentiell abfallenden Korrelationsfunktionen werden dann als Spektraldichten im Frequenzbild durch Lorentz-Kurven dargestellt. Je kürzer die Korrelationszeit, desto breiter erscheint hierfür die Spektraldichte und im Grenzfall gegen Null wird diese eine konstante Funktion. [1]