Ein ZA-basiertes Modell zur Simulation der single-file-Diffusion
mittels MPI in Cluster- und Multi-Cluster-Rechnern

Beitrag zun 3. Workshop „Grid-Technologie für den
Entwurf technischer Systeme“–Grid4TS'07

Uwe Renner, Dietmar Fey

Auszug, Original erschienen in [1], S. 247–254 (PDF-Kopie)

Gliederung

1. Problemstellung

2. Zur Theorie der single-file-Diffusion

3. Ein ZA-Modell für die single-file-Diffusion

4. Das MPI-Interface

5. Experimentelle Untersuchungen

6. Auswertung

7. Ausblick

1. Problemstellung

In den hier vorgestellten Untersuchungen soll ein spezielles physikalisches Problem, das der single-file-Diffusion (SFD) behandelt werden. Hierbei handelt es sich um ein besonderes eindimensionales Diffusionsproblem wie es in sehr engen Kanälen, so z.B. in heterogenen Katalysatoren etwa Zeolythen und andere porösen Materialien, auftritt. Das Verhalten hierin unterscheidet sich qualitativ vom herkömmlichen eindimensionalen Diffusionsproblem, da sich die Teilchen aufgrund der geometrischen Einschränkung nicht überholen können. Es treten Staus auf, wodurch die Ausbreitung stark behindert wird und was in der geänderten Gesetzmäßigkeit für das mittlere Verschiebungsquadrat zum Ausdruck kommt.

Dieses ungewöhnliche physikalische Verhalten lässt sich durch zelluläre Automaten (ZA) geeignet beschreiben. Wegen ihrer theoretisch massiv-parallelen Struktur sind solche Modellsysteme ideal geeignet für Computer-Experimente auf der Basis von Simulationsstudien. So kann einerseits jede Automatenzelle durch einen Prozessor realisiert werden, andererseits lässt sich der gesamte ZA auch auf einen einzigen Prozessor sequentiell simulieren. Die Verwendung  zellulärer Automaten für dieses spezielle physikalische Problem zeigt eindrucksvoll ihre qualitative und quantitative Stärke bei der Modellierung realer Prozesse, so der single-file-Diffusion.

Für eine realistische statistische Auswertung muss man mit einer Teilchenzahl in der Größenordnung von mehreren Millionen Teilchen rechnen. Um solch groß dimensionierte Simulationssysteme in akzeptablen Rechenzeiten simulieren zu können, bieten sich Cluster-Rechner bzw. Multi-Cluster-Rechner an. Hierbei übernimmt jeder Rechnerknoten einen bestimmten Ab­schnitt des gesamten zellulären Systems für die Simulation.

Da die hier vorgestellten Automatenregeln sehr einfach sind und die Verarbeitungszeit pro Zelle sehr gering ist, wird man bei sehr großer Clustergröße eine Abnahme des Speed-Up aufgrund der Kommunikation für den Austausch der Randzustände erwarten. Als Programmierumgebung für einen Cluster-Rechner bzw. einen Multi-Cluster wurde das Message Passing Interface (MPI) von LAM bzw. OpenMPI über IPv6 verwendet. Es wurden verschiedene Konfigurationen für die single-file-Diffusion untersucht. Die erzielten Rechenzeiten liegen aufgrund des parallelen Rechnens in Cluster- und Multi-Grid-Strukturen im Sekundenbereich. Die erzielten Ergebnisse der Simulationsexperimente bestätigen das theoretisch erwartete Verhalten.

Abbildungen

Abbildung 1:  Zustandsübergänge im ZA-Modell der single-file-Diffusion (L_N, R_N entspricht linkem bzw. rechtem Nachbar, 2_L_N, 2_R_N entspricht übernächsten linken, rechten Nachbar, RND entspricht Wahrscheinlichkeit von ½)

Abbildung 2:  Datentransfer zwischen den Teilautomaten. Ein Teilautomat i bestehend aus den inneren Zellen (weiß) und den beiden Randzellen links und rechts (hellgrau). Aus Darstellungsgründen wird er durch eine symbolische Trennlinie unterbrochen. Die dunkelgrauen Zellen beinhalten die Kopien der Randzellen der benachbarten Teilautomaten i-1 bzw. i+1, welche für die Zustandsaktualisierung erforderlich sind.

Abbildung 3:  Ausführungszeiten und erzielter Speed-Up für verschiedene Teilchenkonzentrationen

Abbildung 5: Simulationsergebnisse (Experiment) der single-File-Diffusion für das mittlere Verschiebungsquadrat für große Zeiten (32000 Zeiteinheiten) mit unterschiedliche Konzentrationen, gegenübergestellt dem theoretisch prognostizierten der single-file-Diffusion (SFD).

C-Programm

Die MPI-Simulationen zur single-file-Diffusion wurden mit folgendem C-Programm durchgeführt: sfd.c