4Brillouin’s Beschreibung des zeitlichen Signalverhaltens mittels der Sattelpunktmethode

In der an Sommerfeld anschließenden Arbeit von 1914 mit demselben Titel führte Brillouin die Untersuchungen zum Zeitverhalten fort [1, 2]. Dabei benutzt er jedoch nicht den von Sommerfeld vorgeschlagenen Integrationsweg über die Polstellen und Verzweigungsschnitte mit den sich kompensierenden Integrationswegen nach Unendlich, sondern legt den Weg so, daß dieser außer an den zeitlich beweglichen Sattelpunkten vernachlässigbare Beiträge zum Integral liefert. In solche Gebiete gelangt man durch Fallinien, welche von den Sattelpunkten ausgehen.
Brillouin konnte für den normalen Dispersionsbereich zeigen, daß die Signalgeschwindigkeit mit der Gruppengeschwindigkeit übereinstimmt und auch einen Intensitätsschwellwert für den Detektor angeben, der die Ankunft des Signals definiert und den er auf ein viertel der ursprünglichen Intensität festlegt.

4.1 Grundlegende Begriffe, komplexzahlige Phasenebene und Symmetrien

Zur Beschreibung des Signals verwendet Brillouin analog zu Sommerfeld die Darstellung wobei und ist. Für den Exponenten wird die Funktionen mit eingeführt. Dabei wurde die Dispersionsbeziehung verwendet und der dimensionslose Parameter eingeführt. Für ist das Signal am Ort an noch nicht existent. Es kommt dort erst mit Vakuumlichtgeschwindigkeit an, wenn wird. Wie bereits oben definiert ist die retardierte Zeit, hier ausgedrückt durch den dimensionslosen Parameter Die analytische Funktion läßt sich durch den Realteil und den Imaginärteil darstellen. Es sei , dann bestätigt man zunächst mit und , daß gleich dem konjugiert Komplexen von ist, d. h. . Folglich ist und weiter Damit gilt wegen die Symmetrieeigenschaft .

4.2 Die Methode der Sattelpunkte

Obwohl der Integrationsweg in (\ref{eq:Signaldarstellung_Brillouin}↓), solange keine Singularitäten und Verzweigungsschnitte übersprungen werden, zur Auswertung beliebig deformiert werden kann, ist es für die numerische Berechnung bzw. zur Bestimmung einer Näherungslösung zweckmäßig, den Weg so zu legen, daß möglichst nur über kleine Funktionswerte integriert werden muß, d. h. sollte darauf möglichst große negative Werte annehmen. Die harmonische Funktion besitzt lokal keine endlichen Maxima oder Minima, jedoch zwischen den Erhebungen Sattelpunkte, von denen man entlang der Fallinien in die Täler gelangt. Ist der Funktionsabstieg dort sehr steil (Methode des steilsten Abstiegs), dann liefert bereits die Integration auf einem kleinen Wegabschnitt über die Sattelpunkte die wesentlichen Beiträge zum Gesamtintegral (\ref{eq:Signaldarstellung_Brillouin}↓). Die Methode der Sattelpunkte wurde bereits 1909 von Peter Debye bei der Bestimmung von Näherungsformeln für Zylinderfunktion in [3] benutzt.
Ein Sattelpunkt muß die notwendige Bedingung bzw. und erfüllen. Angewendet auf (\ref{eq:Exponent_w_z}↓) besteht die Forderung bzw. Ist , so gelangt man von den Sattelpunkten über die Fallinien in Gebiete mit großen negativen Werten für , in denen dann der Anteil zum Integral vernachlässigbar ist. Ist das Gefälle ins Tal groß, so kann man den Integrationsweg durch ein tangentiales Geradenstück ersetzen. Mit dem Ansatz , wobei und diese Gerade um den Sattelpunkt parametrisieren, versucht man auf die quadratische Form zu bringen, wobei der Koeffizient reell und positiv ist. Die vom Sattelpunkt ausgehenden Fallinien bilden dann mit der reellen Achse den Winkel Er wird wegen des geforderten Integrationswegs von nach so gewählt, daß gilt. Das gesamte Integrationsweg setzt sich aus den über die Sattelpunkte führenden Teilpfaden zusammen, so daß man das Gesamtintegral (\ref{eq:Signaldarstellung_Brillouin}↓) in Summe der Teilintegrale zerlegen kann. Ist groß genug, so daß ein merklicher Abfall der Exponentialfunktion auf einem sehr kurzen Wegabschnitt erfolgt und ändert sich dabei kaum, so kann das Integral auch von kommend nach über erstreckt werden, wobei konstant gehalten werden kann. Somit ist vereinfacht und nach Auswertung des Integrals Die Güte der Näherung hängt von der Größe des Parameters ab.
Es kann vorkommen, daß am Sattelpunkt verschwindet. Dann muß man für — abgesehen vom konstanten Ausdruck — eine Entwicklung in höheren Potenzen ansetzen, z. B. in . Für die Fallinien gibt es dann mehr als zwei Richtungen, von denen zwei geeignete für den Integrationsweg gewählt werden.

4.3 Zeitabhängige Lage der Sattelpunkte für große und kleine komplexzahlige Argumente

Die Lage der für die Integration wesentlichen Sattelpunkte ist wegen vom Zeitparameter abhängig. Für den komplexzahligen Brechungsindex wird wieder des Lorentzsche Dispersionsmodell verwendet.
Kurz nach der Ankunft des Signals ist . Die Gleichung (\ref{eq:Theta_Bedingung_Sattelpunkte}↓) wird für betragsmäßig große erfüllt, da dann gilt. Außerdem verschwindet der hintere Term. Für sehr große Werte nähern sich die Sattelpunkte den Punkten der beiden symmetrisch liegenden Verzweigungsschnitte. Einerseits wird dort unendlich an den singulären Punkten , anderseits unendlich an den Nullstellen .
Die Untersuchungen zum Signalverhalten werden erleichtert, wenn man für das komplexzahlige Frequenzverhalten des Brechungsindex vereinfachende Annahmen macht. Dann läßt sich die Lage der Sattelpunkt näherungsweise aus quadratischen Gleichungen bestimmen und damit die Phasenfunktion berechnen.
Es soll zunächst das Verhalten der Phasenfunktion an den Sattelpunkten für betragsmäßig kleine Werte , d. h. und mit , unter der Bedingung sehr kleiner Dämpfung ( ) bestimmt werden. Mit den Parametern und lautet näherungsweise Folglich berechnen sich die Sattelpunkte wegen (\ref{eq:Definition_Sattelpunkt}↓) aus der quadratischen Gleichung welche die beiden Lösungen besitzt. Die Lage der Sattelpunkte in der komplexen Ebene kann entsprechend des Vorzeichens von klassifiziert werden. Für liegen die Sattelpunkte symmetrisch auf der Geraden bei Die Fallinien bilden für einen Winkel und für einen Winkel mit der reellen Achse.
Für große Werte , d. h. für und , gilt näherungsweise Die hieraus bestimmten Sattelpunkte liegen bei also symmetrisch um den Punkt auf der durch diesen Punkt gehenden Geraden . Für kleine positive Zeiten sind die Realteile der Sattelpunkte sehr groß und es gilt näherungsweise . Mit fortschreitenden Zeiten verringert sich betragsmäßig ihr Realteil, bis schließlich der Gültigkeitsbereich der Näherung verlassen wird. Die Fallinien in den Sattelpunkten bilden für einen Winkel und für einen Winkel von mit der reellen Achse.
Gemäß der Bedingung (\ref{eq:Theta_Bedingung_Sattelpunkte}↓) und der Beziehung (\ref{eq:Brechungsindex_Sattelpunkte}↓) kann man die Sattelpunkte allgemein aus der resultierenden algebraischen Gleichung 8. Grades mit den zugehörigen zeitabhängigen Koeffizienten berechnen, was mit numerischen Verfahren möglich ist. Nicht alle Lösungen sind Sattelpunkte im üblichen Sinne, sondern weisen in gewissen Richtungen wendekurvenartiges Verhalten auf. Dies betrifft speziell die vier ober- bzw. unterhalb des Verzweigungsschnittes im Absorptionsstreifen liegenden Lösungen. Sie werden bei den weiteren Untersuchungen jedoch nicht benötigt. Die vier verbleibenden Lösungen weisen je nach Lagesymmetrien auf, so daß insgesamt nur zwei Sattelpunkte in der Auswertung berücksichtigt werden müssen.

4.4 Signal- und Gruppengeschwindigkeit

Mit der Integration entlang des Weges in der komplexen Ebene erfolgt eine gewichtete Überlagerung von Schwingungsanteilen mit Frequenzen, die zum Sattelpunkt benachbart liegen. Im Fall reeller Werte bestimmt ein solcher Sattelpunkt die Gruppengeschwindigkeit . Man kann annehmen, daß sich auch die Wellengruppe (Superposition der Wellen) in der Nähe dieses Sattelpunktes mit dieser Geschwindigkeit fortpflanzen. Ist die Anregungsfrequenz weit von der Eigenfrequenz des Mediums entfernt, so kann man die am Sattelpunkt berechnete Gruppengeschwindigkeit als Signalgeschwindigkeit definieren. Dies ist für Sattelpunkte mit betragsmäßig kleinen der Fall, die sich für größere Zeiten entlang der Geraden bewegen. An einem solchen gibt es eine Fallinie steilsten Abstiegs, deren Projektion die reelle Achse im Punkt schneidet. Brillouin definiert die Ankunft des Signals durch den Zeitpunkt , in dem der Punkt die Polstelle erreicht und dort das Signal fast die volle Amplitude annimmt. In der Umgebung von Sattelpunktes existiert ein Punkt mit gleichem Realteil, an dem die Projektion der Fallinie die reelle Achse im Punkt berührt. Da die Abstände und gewöhnlich sehr klein sind, ließe sich die Ankunft des Signals auch näherungsweise durch das Aufeinandertreffen von in definieren. Mit wird Für die durch verlaufende Niveaulinie gilt und folglich . Aus letzterer Bedingung erhält man wodurch die Gruppengeschwindigkeit definiert werden kann. Damit würde der Zeitpunkt die Ankunft die Signals am Ort beschreiben.

4.5 Einschwingverhalten, erster und zweiter Vorläufer

Es sollen zunächst die Sattelpunkte bei betragsmäßig kleinen Werten betrachtet werden. Im Fall, daß gilt, kann mit den in der Optik üblichen physikalischen Parametern (z. B. , bei bzw. , , und damit sowie ) gezeigt werden, daß der Beitrag dieses Sattelpunktes zum Signal vernachlässigbar klein bleibt. Er nimmt erst mit dem Übergang deutlich zu. Das zeitliche Übergangsverhalten in der Umgebung soll später beschrieben werden
Der Fall führt zu einem merklichen Einschwingverhalten, daß sich von der von Sommerfeld gefundenen Lösung unterscheidet und für größere Zeiten gültig ist. Dieser Abschnitt der Signalankündigung wird nach Brillouin gleichfalls Vorläufer genannt. In diesem Fall verläuft der Integrationsweg über die Sattelpunkte mit unter einem Winkel . Man kann in deren Umgebung die quadratische Entwicklung mit den Funktionswerten finden, wobei , und gilt. Entsprechend (\ref{eq: Sattelpunktsnaeherung}↓) wird für hinreichend große Werte , etwa , nach Bildung des Realteils In der Regel kann man gegenüber vernachlässigen, so daß sich die Lösung zu vereinfacht. Man beachte, daß für negativ ist und eine zeitliche Dämpfung der Amplitude bedeutet. Nähert sich dem Wert 0, dann nimmt der Exponentialausdruck maximal den Wert 1 an. Gleichfalls wächst der Wurzelausdruck, da dann kleiner wird. Jedoch verliert bei zu kleinem die Sattelpunktnäherung wegen der Forderung an und damit für ihre Gültigkeit. Außerdem darf sich nicht zu nahe dem singulären Punkt mit der Schwingungsdauer des eintreffenden Signals nähern. Unter der Bedingung, daß klein gegenüber ist, beträgt die maximale Amplitude näherungsweise So erhält man für obige Beispielparameter und den Wert . Wegen der Kleinheit von und falls der Sattelpunkt weit weg von der Polstelle liegt ( ), überwiegt der erste Term im hinteren Klammerausdruck. Rückt der Sattelpunkt mit wachsender Zeit in die Nähe der Anregung, dann gewinnt der zweite Term an Gewicht, was mit einer deutlichen Änderung der Amplitude verbunden ist. Durch die Überlagerung mit dem ersten Term ergibt sich ein änderndes Phasenverhalten. Den in (\ref{eq:Brillouin_Vorlaeufer_2}↓) bestimmten Zeitabschnitt des eintreffenden Signals, der sich aus der Sattelpunktlösung für Argumente nahe dem Ursprung ergibt, bezeichnet Brillouin als zweiten Vorläufer. Dieser setzt in der Nähe von ein, d. h. ungefähr zum Zeitpunkt . Das zeitliche Verhalten ist wegen der Abhängigkeit der Phasenfunktion von materialabhängig.
Für die zeitliche Änderung der Phase am Ort folgt Wegen ist , so daß näherungsweise gilt. Die zeitliche Phasenänderung stimmt mit dem Realteil des Sattelpunktes überein, der sich mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt (s. o.).
Bei der Herleitung wurden in Integration nur die quadratische Näherung von berücksichtigt, obwohl zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen diese bis zur dritten Potenz als entwickelt wurde. Zum einen erhält man durch die quadratische Reduktion bei der Integration einfache explizite Ausdrücke, zum anderen zeigt eine numerische Analyse, daß der kubische Term gegenüber dem Fehler, welcher durch die ursprüngliche Entwicklung um entsteht, zunächst vernachlässigt werden kann. Letzterer bedingt einen merklichen Phasenfehler bei größeren Zeiten, kann jedoch durch eine Entwicklung in höheren Potenzen unter Berücksichtigung von reduziert werden. Dazu verwendet man die Identität und entwickelt den hinteren Term in eine Potenzreihe. Speziell für erhält man dann Der hintere Term korrigiert den Amplitudenfehler, den der vordere Term verursacht. Die nicht aufgeführten Zwischenterme bewirken nur geringfügige Verbesserungen. Mit der Substitution wird wieder über integriert. Da sehr schnell in der Umgebung von abfällt, kann man näherungsweise durch ersetzen, so daß man einen konstanten Korrekturfaktor erhält. Durch diesen erreicht man gegenüber (\ref{eq:Brillouin_Vorlaeufer_2}↓) eine Verbesserung im Phasenverhalten.
Jedoch läßt sich dieses Verfahren nicht für beliebig große Zeiten anwenden. Auch weicht die Sattelpunktnäherung dann immer mehr von der tatsächlichen Lage in der Phasenebene ab. Insbesondere streben die zuvor betrachteten, dem Koordinatenursprung nahen, symmetrisch liegenden Sattelpunkte zu den jeweiligen negativ-wertigen Singularitäten des Verzweigungsschnittes, wo das Integral verschwindet. Die Sattelpunktmethode läßt sich jedoch mit den näherungsweise bestimmten Sattelpunkten bis zum Einsetzen des Hauptsignals mit voller Amplitude anwenden und das Integral numerisch auswerten. Zu beachten ist dann, daß der Nenner mit weiterer Annäherung von an nicht mehr konstant gehalten werden kann, und ab einem bestimmten Zeitpunkt, der durch gegeben ist, schließlich rechtsseitig der Integrationsweg den Pol im Winkel passiert, so daß ab diesem das Residuum, welches durch gegeben ist, zur Funktion (\ref{eq:Signaldarstellung_Brillouin}↓) beiträgt. Der Zeitpunkt liegt bei mit und ist daher von der Schwingungsdauer der anregenden Welle bzw. von abhängig, so daß man stark unterschiedliche Laufzeiten in Abhängigkeit erhält. Mit den obigen Parametern ist . Die zu berechnende Signalfunktion läßt sich mittels der Sprungfunktion durch ausdrücken. Der hintere Term ist der stationäre Wellenanteil, der auch für größere Zeiten verbleibt. Der vordere Integralterm weist mit dem Einsetzen des Residuums einen Phasensprung auf, siehe Abb. 1↓a.
a) Phasensprungverhalten des Integrals (\ref{eq:Einschwingen}↓)
Abbildung Phasensprung.png
b) Beitrag des Residuums
Abbildung Residuumanteil.png
Abbildung 1 Signalanteile für (\ref{eq:Einschwingen}↓) in Abhängigkeit von
Nachdem der Sattelpunkt den Pol passiert hat steigt die Signalamplitude rasch auf den Maximalwert an, womit die Ankunft des Signals definiert ist. Bei vernachlässigbarer Absorption kann man als Schwellwert den halben Wert des Maximalamplitude bzw. 1/4 der Maximalsintensität wählen. Für eine gewisse Zeit ist der Integralbeitrag noch als Überlagerung erkennbar, die aber mit der Zeit langsam abklingt, siehe Abb. 2↓. Liegen die Periodendauern des Anregungssignals bei denjenigen, die Frequenzen im Absorptionsband entsprechen, so wird der Pol niemals durch diesen Integrationsweg überquert und der von diesem Sattelpunkt stammende stationäre Anteil bleibt aus.
Abbildung Einschwingen_delta_s.png
Abbildung 2 Signalankunft als Funktion von
Für die fernen Sattelpunkte (\ref{eq:Sattelpunkte_fern}↓), bei denen näherungsweise gilt, kann man ebenfalls eine quadratische Entwicklung mit , und ansetzen, wofür man gemäß der Formel (\ref{eq: Sattelpunktsnaeherung}↓) erhält. Für und gilt näherungsweise und damit bzw. unter Berücksichtigung von ausgedrückt durch und Dies ist entsprechend der Brillouinschen Benennung der erste Vorläufer. Die Näherung ist wegen der Forderung nicht zu kleiner Werte nur für nicht zu kleine retardierte Zeiten gültig, also für nicht zu weit entfernte Werte vom Koordinatenursprung. Der Abschnitt kleiner retardierter Zeiten ist hingegen der Gültigkeitsbereich des Sommerfeldschen Vorläufers. Jedoch ist der Unterschied beider Vorläuferbeschreibungen mit obigen Parametern bis hin zu sehr kleinen äußerst gering.
„Everybody wondered (and still wonders) why the Stockholm committee systematically ignored Sommerfeld’s pioneer work in modern physics. Such an omission is actually impossible to understand.” Léon Brillouin, 1959 [4]

Literaturverzeichnis

[1] Sommerfeld, A.: Über die Fortpflanzung des Lichtes in dispergierenden Medien. Annalen der Physik 1914 (10), Band 349, S. 177-202.

[2] Brillouin, L.: Über die Fortpflanzung des Lichtes in dispergierenden Medien. Annalen der Physik 1914 (10), Band 349, S. 203-240.

[3] Debye, P.: Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index. Math. Ann. 67 (1909), S. 535--558.

[4] Brillouin, L.: Wave propagation and group velocity. Academic Press New York and London, 1960.