Brillouin konnte für den normalen Dispersionsbereich zeigen, daß die Signalgeschwindigkeit mit der Gruppengeschwindigkeit übereinstimmt und auch einen Intensitätsschwellwert für den Detektor angeben, der die Ankunft des Signals definiert und den er auf ein viertel der ursprünglichen Intensität festlegt.

Ein Sattelpunkt $z_{\textrm{S}}$ muß die notwendige Bedingung $$\begin{equation} \frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}z}=0\label{eq:Definition_Sattelpunkt} \end{equation}$$ bzw. $\frac{\partial X}{\partial\xi}=0$ und $\frac{\partial X}{\partial\eta}=0$ erfüllen. Angewendet auf (\ref{eq:Exponent_w_z}↓) besteht die Forderung $$t-\left.\frac{\textrm{d}k}{\textrm{d}z}\right|_{z_{\textrm{S}}}x=0$$ bzw. $$t=\left(n(z_{\textrm{S}})+z_{\textrm{S}}\left.\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z}\right|_{z_{\textrm{S}}}\right)\frac{x}{c}.$$ Ist $\mathfrak{t}>0$ , so gelangt man von den Sattelpunkten über die Fallinien in Gebiete mit großen negativen Werten für $X$ , in denen dann der Anteil zum Integral vernachlässigbar ist. Ist das Gefälle ins Tal groß, so kann man den Integrationsweg durch ein tangentiales Geradenstück ersetzen. Mit dem Ansatz $z=z_{\textrm{S}}+\varepsilon\mathrm{e}^{i\alpha}$ , wobei $\varepsilon$ und $\alpha$ diese Gerade um den Sattelpunkt parametrisieren, versucht man $v(z)$ auf die quadratische Form $v(z)=v(z_{\textrm{S}})-B\,\mathrm{e}^{-2\alpha i}\,(z-z_{\textrm{S}})^{2}$ zu bringen, wobei der Koeffizient $B$ reell und positiv ist. Die vom Sattelpunkt ausgehenden Fallinien bilden dann mit der reellen Achse den Winkel $$\begin{equation} \alpha=\frac{\pm\pi-\arg\left(v''(z_{\textrm{S}})\right)}{2}.\label{eq:Winkel_Fallinie} \end{equation}$$ Er wird wegen des geforderten Integrationswegs von $+\infty$ nach $-\infty$ so gewählt, daß $-\frac{\pi}{2}<\alpha\leq\frac{\pi}{2}$ gilt. Das gesamte Integrationsweg setzt sich aus den über die Sattelpunkte $z_{l}$ führenden Teilpfaden zusammen, so daß man das Gesamtintegral (\ref{eq:Signaldarstellung_Brillouin}↓) in Summe der Teilintegrale $$f(x,t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{l}\Re\intop_{z_{l}}\textrm{d}z\,\frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v(z)}}{z-\omega}$$ zerlegen kann. Ist $B_{l}$ groß genug, so daß ein merklicher Abfall der Exponentialfunktion auf einem sehr kurzen Wegabschnitt erfolgt und ändert sich $z-\omega$ dabei kaum, so kann das Integral auch von $+\infty$ kommend nach $-\infty$ über $z_{l}$ erstreckt werden, wobei $z-\omega$ konstant $z_{l}-\omega$ gehalten werden kann. Somit ist vereinfacht $$f(x,t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{l}\Re\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v(z_{l})}}{z_{l}-\omega}\mathrm{e}^{i\alpha_{l}}\intop_{+\infty}^{-\infty}\textrm{d}\varepsilon\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{c}B_{l}\varepsilon^{2}}\right)$$ und nach Auswertung des Integrals $$\begin{equation} f(x,t)=\sum_{l}\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{c}{\pi B_{l}x}}\right)\Re\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v(z_{l})}}{z_{l}-\omega}\mathrm{e}^{i\alpha_{l}}\right).\label{eq: Sattelpunktsnaeherung} \end{equation}$$ Die Güte der Näherung hängt von der Größe des Parameters $B$ ab.

Es kann vorkommen, daß $B$ am Sattelpunkt verschwindet. Dann muß man für $v(z)$ – abgesehen vom konstanten Ausdruck $v(z_{\textrm{S}})$ – eine Entwicklung in höheren Potenzen ansetzen, z. B. in $(z-z_{\textrm{S}})^{3}$ . Für die Fallinien gibt es dann mehr als zwei Richtungen, von denen zwei geeignete für den Integrationsweg gewählt werden.

Kurz nach der Ankunft des Signals ist $\mathit{\Theta}\gtrsim1$ . Die Gleichung (\ref{eq:Theta_Bedingung_Sattelpunkte}↓) wird für betragsmäßig große $z_{\mathrm{S}}$ erfüllt, da dann $n(z_{\mathrm{S}})\approx1$ gilt. Außerdem verschwindet der hintere Term. Für sehr große Werte $\mathit{\Theta}$ nähern sich die Sattelpunkte den Punkten der beiden symmetrisch liegenden Verzweigungsschnitte. Einerseits wird dort $n(z_{\mathrm{S}})$ unendlich an den singulären Punkten $a_{1,2}=-i\varrho\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}-\varrho^{2}}$ , anderseits $\left.\frac{\mathrm{d}n(z)}{\mathrm{d}z}\right|_{z_{\mathrm{S}}}$ unendlich an den Nullstellen $b_{1,2}=-i\varrho\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}+\omega_{\textrm{P}}^{2}-\varrho^{2}}$ .

Die Untersuchungen zum Signalverhalten werden erleichtert, wenn man für das komplexzahlige Frequenzverhalten des Brechungsindex vereinfachende Annahmen macht. Dann läßt sich die Lage der Sattelpunkt näherungsweise aus quadratischen Gleichungen bestimmen und damit die Phasenfunktion $v(z)$ berechnen.

Es soll zunächst das Verhalten der Phasenfunktion an den Sattelpunkten für betragsmäßig kleine Werte $z$ , d. h. $\left|z\right|\ll\omega_{0}$ und$\left|z\right|\ll\omega_{2}$ mit $\omega_{2}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\omega_{\textrm{P}}^{2}}$ , unter der Bedingung sehr kleiner Dämpfung ($\varrho\left|z\right|\ll\omega_{0}\omega_{2}$ ) bestimmt werden. Mit den Parametern $A=\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{2\omega_{0}^{3}\omega_{2}}$ und $\mathfrak{d}'=\Theta-\frac{\omega_{2}}{\omega_{0}}$ lautet $v(z)$ näherungsweise $$\begin{equation} v(z)=-iz(\mathfrak{d}'-A\,z\,(z+2i\varrho)).\label{eq:Entwicklung_v_z_klein} \end{equation}$$ Folglich berechnen sich die Sattelpunkte wegen (\ref{eq:Definition_Sattelpunkt}↓) aus der quadratischen Gleichung $$z_{\textrm{S}}^{2}+\frac{4i\varrho}{3}z_{\textrm{S}}-\frac{\mathfrak{d}'}{3A}=0,$$ welche die beiden Lösungen $$z_{\textrm{S}}^{\pm}=-\frac{2\varrho}{3}i\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3\mathfrak{d}'}{A}-4\varrho^{2}}$$ besitzt. Die Lage der Sattelpunkte in der komplexen Ebene kann entsprechend des Vorzeichens von $\Delta=\frac{3\mathfrak{d}'}{A}-4\varrho^{2}$ klassifiziert werden. Für $\Delta>0$ liegen die Sattelpunkte symmetrisch auf der Geraden $z\equiv-\frac{2\varrho}{3}i$ bei $$z_{\textrm{S}}^{\pm}=-\frac{2\varrho}{3}i\pm\frac{1}{3}\sqrt{\Delta}.$$ Die Fallinien bilden für $z_{\textrm{S}}^{+}$ einen Winkel $\alpha^{+}=\frac{\pi}{4}$ und für $z_{\textrm{S}}^{-}$ einen Winkel $\alpha^{-}=-\frac{\pi}{4}$ mit der reellen Achse.

Für große Werte $z$ , d. h. für $\left|z\right|\gg\omega_{0}$ und $\left|z\right|\gg\omega_{\textrm{P}}$ , gilt näherungsweise $$\begin{equation} v(z)=-iz\mathfrak{d}-i\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{2}\frac{1}{z+2i\varrho}.\label{eq:Entwicklung_v_z_gross} \end{equation}$$ Die hieraus bestimmten Sattelpunkte liegen bei $$\begin{equation} z_{\textrm{S}}^{\pm}=-2\varrho i\pm\frac{\omega_{\textrm{P}}}{\sqrt{2\mathfrak{d}}},\label{eq:Sattelpunkte_fern} \end{equation}$$ also symmetrisch um den Punkt $(0,-2\varrho)$ auf der durch diesen Punkt gehenden Geraden $\eta=-2\varrho$ . Für kleine positive Zeiten $\mathfrak{d}$ sind die Realteile der Sattelpunkte sehr groß und es gilt näherungsweise $X=-2\varrho\mathfrak{d}$ . Mit fortschreitenden Zeiten $\mathfrak{d}$ verringert sich betragsmäßig ihr Realteil, bis schließlich der Gültigkeitsbereich der Näherung verlassen wird. Die Fallinien in den Sattelpunkten bilden für $z_{\textrm{S}}^{+}$ einen Winkel $\alpha^{+}=-\frac{\pi}{4}$ und für $z_{\textrm{S}}^{-}$ einen Winkel von$\alpha^{-}=\frac{\pi}{4}$ mit der reellen Achse.

Gemäß der Bedingung (\ref{eq:Theta_Bedingung_Sattelpunkte}↓) und der Beziehung (\ref{eq:Brechungsindex_Sattelpunkte}↓) kann man die Sattelpunkte allgemein aus der resultierenden algebraischen Gleichung 8. Grades $$\begin{equation} P(z)=\sum_{i=0}^{8}a_{i}z^{i}\equiv0\label{eq:Polynom} \end{equation}$$ mit den zugehörigen zeitabhängigen Koeffizienten $$\begin{eqnarray*} a_{0} & = & \omega_{0}^{4}\left(\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{P}}^{2}\right)\left(\omega_{0}^{2}+\omega_{\mathrm{P}}^{2}\right)\\ a_{1} & = & -2i\gamma\omega_{0}^{2}\left(4\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\omega_{0}^{4}+\left(3\mathit{\Theta}^{2}-5\right)\omega_{\mathrm{P}}^{2}\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{P}}^{4}\right)\\ a_{2} & = & -4\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\left(6\gamma^{2}+\omega_{0}^{2}\right)\omega_{0}^{4}-\left(3\mathit{\Theta}^{2}-4\right)\left(4\gamma^{2}+\omega_{0}^{2}\right)\omega_{\mathrm{P}}^{2}\omega_{0}^{2}+\gamma^{2}\omega_{\mathrm{P}}^{4}\\ a_{3} & = & 4i\gamma\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\left(6\omega_{0}^{4}+\left(8\gamma^{2}+3\omega_{\mathrm{P}}^{2}\right)\omega_{0}^{2}+2\gamma^{2}\omega_{\mathrm{P}}^{2}\right)\\ a_{4} & = & \left(3\mathit{\Theta}^{2}-2\right)\left(4\gamma^{2}+\omega_{0}^{2}\right)\omega_{\mathrm{P}}^{2}+2\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\left(8\gamma^{4}+24\omega_{0}^{2}\gamma^{2}+3\omega_{0}^{4}\right)\\ a_{5} & = & -2i\gamma\left(\left(3\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\omega_{\mathrm{P}}^{2}+4\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\left(4\gamma^{2}+3\omega_{0}^{2}\right)\right)\\ a_{6} & = & -\mathit{\Theta}^{2}\omega_{\mathrm{P}}^{2}-4\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\left(6\gamma^{2}+\omega_{0}^{2}\right)\\ a_{7} & = & 8i\gamma\left(\mathit{\Theta}^{2}-1\right)\\ a_{8} & = & \mathit{\Theta}^{2}-1 \end{eqnarray*}$$ berechnen, was mit numerischen Verfahren möglich ist. Nicht alle Lösungen sind Sattelpunkte im üblichen Sinne, sondern weisen in gewissen Richtungen wendekurvenartiges Verhalten auf. Dies betrifft speziell die vier ober- bzw. unterhalb des Verzweigungsschnittes im Absorptionsstreifen liegenden Lösungen. Sie werden bei den weiteren Untersuchungen jedoch nicht benötigt. Die vier verbleibenden Lösungen weisen je nach $\mathit{\Theta}$ Lagesymmetrien auf, so daß insgesamt nur zwei Sattelpunkte in der Auswertung berücksichtigt werden müssen.

Der Fall $\Delta>0$ führt zu einem merklichen Einschwingverhalten, daß sich von der von Sommerfeld gefundenen Lösung unterscheidet und für größere Zeiten gültig ist. Dieser Abschnitt der Signalankündigung wird nach Brillouin gleichfalls Vorläufer genannt. In diesem Fall verläuft der Integrationsweg über die Sattelpunkte $z_{\textrm{S}}^{\pm}=-\frac{2}{3}\varrho i\pm\xi_{S}$ mit $\xi_{S}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3\mathfrak{d}'}{A}-4\varrho^{2}}$ unter einem Winkel $\alpha^{\pm}=$ $\pm\frac{\pi}{4}$ . Man kann in deren Umgebung die quadratische Entwicklung $$v^{\pm}(z)=v_{\textrm{S}}^{\pm}-B\,\varepsilon^{2}$$ mit den Funktionswerten $v_{\textrm{S}}^{\pm}=X_{\textrm{S}}\pm iY_{\textrm{S}}$ finden, wobei $B=3A\xi_{S}$ , $X_{\textrm{S}}=\frac{2}{3}\varrho\left(-\mathfrak{d}'+\frac{8}{9}A\varrho^{2}\right)$ und $Y_{\textrm{S}}=\xi_{S}\left(-\mathfrak{d}'+A\left(\xi_{S}^{2}+\frac{4}{3}\varrho^{2}\right)\right)$ gilt. Entsprechend (\ref{eq: Sattelpunktsnaeherung}↓) wird für hinreichend große Werte $B$ , etwa $B>\frac{c}{x}\left(\frac{20}{\omega}\right)^{2}$ , nach Bildung des Realteils $$\begin{equation} f(x,t)=\frac{\omega\,\sqrt{\frac{c}{3\pi A\xi_{S}x}}\,\textrm{e}^{\frac{x}{c}X_{\textrm{S}}}}{\left(\omega^{2}+\xi_{S}^{2}+\frac{4}{9}\varrho^{2}\right)^{2}-4\omega^{2}\xi_{S}^{2}}\left\{ \begin{array}{rc} \left(\omega^{2}-\xi_{S}^{2}+\frac{4}{9}\varrho^{2}\right) & \cos\left(\frac{x}{c}Y_{\textrm{S}}+\frac{\pi}{4}\right)\\ +\frac{4}{3}\varrho\xi_{S} & \sin\left(\frac{x}{c}Y_{\textrm{S}}+\frac{\pi}{4}\right) \end{array}\right\} .\label{eq:Brillouin_Vorlaeufer_2} \end{equation}$$ In der Regel kann man $\varrho^{2}$ gegenüber $\omega^{2}-\xi_{S}^{2}$ vernachlässigen, so daß sich die Lösung zu $$f(x,t)=\frac{\omega}{\omega^{2}-\xi_{S}^{2}}\,\sqrt{\frac{c}{3\pi A\xi_{S}x}}\,\textrm{e}^{\frac{x}{c}X_{\textrm{S2}}}\left\{ \begin{array}{rc} & \cos\left(\frac{x}{c}Y_{\textrm{S}}+\frac{\pi}{4}\right)\\ +\frac{4}{3}\varrho\frac{\xi_{S}}{\omega^{2}-\xi_{S}^{2}} & \sin\left(\frac{x}{c}Y_{\textrm{S}}+\frac{\pi}{4}\right) \end{array}\right\}$$ vereinfacht. Man beachte, daß $\frac{x}{c}X_{\textrm{S}}\approx-\frac{2}{3}\frac{x}{c}\varrho\mathfrak{d}'$ für $\varrho>0$ negativ ist und eine zeitliche Dämpfung der Amplitude bedeutet. Nähert sich $\mathfrak{d}'$ dem Wert 0, dann nimmt der Exponentialausdruck maximal den Wert 1 an. Gleichfalls wächst der Wurzelausdruck, da dann $\xi_{S}$ kleiner wird. Jedoch verliert bei zu kleinem $\xi_{S}$ die Sattelpunktnäherung wegen der Forderung an $B$ und damit für $\xi_{S}>\frac{c}{3Ax}\left(\frac{20}{\omega}\right)^{2}$ ihre Gültigkeit. Außerdem darf sich $\xi_{S}$ nicht zu nahe dem singulären Punkt mit der Schwingungsdauer $\tau=\frac{2\pi}{\omega}$ des eintreffenden Signals nähern. Unter der Bedingung, daß $\xi_{S}^{2}$ klein gegenüber $\omega^{2}$ ist, beträgt die maximale Amplitude näherungsweise $$f_{\textrm{max}}=\frac{1}{\omega}\,\sqrt{\frac{c}{3\pi A\xi_{S}x}}.$$ So erhält man für obige Beispielparameter und $\xi_{S2}=1\cdot10^{15}\textrm{s}^{-1}$ den Wert $f_{\textrm{max}}\approx0,028$ . Wegen der Kleinheit von $\varrho$ und falls der Sattelpunkt weit weg von der Polstelle $\omega=\frac{2\pi}{\tau}$ liegt ($\xi_{S2}\ll\omega$ ), überwiegt der erste Term im hinteren Klammerausdruck. Rückt der Sattelpunkt mit wachsender Zeit in die Nähe der Anregung, dann gewinnt der zweite Term an Gewicht, was mit einer deutlichen Änderung der Amplitude verbunden ist. Durch die Überlagerung mit dem ersten Term ergibt sich ein änderndes Phasenverhalten. Den in (\ref{eq:Brillouin_Vorlaeufer_2}↓) bestimmten Zeitabschnitt des eintreffenden Signals, der sich aus der Sattelpunktlösung für Argumente nahe dem Ursprung ergibt, bezeichnet Brillouin als zweiten Vorläufer. Dieser setzt in der Nähe von $\mathfrak{d}'=0$ ein, d. h. ungefähr zum Zeitpunkt $t=\frac{x}{c}\frac{\omega_{2}}{\omega_{0}}$ . Das zeitliche Verhalten ist wegen der Abhängigkeit der Phasenfunktion von $\omega_{0}$ materialabhängig.

Für die zeitliche Änderung der Phase $\varphi(t)=\frac{x}{c}Y_{\textrm{S}}+\frac{\pi}{4}$ am Ort $x$ folgt $$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\varphi(t)=\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\Theta}Y_{\textrm{S}}=\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}\mathfrak{d}'}Y_{\textrm{S}}.$$ Wegen $\varrho^{2}\ll\frac{3\mathfrak{d}'}{4A}$ ist $\xi_{S}\approx\sqrt{\frac{\mathfrak{d}'}{3A}}$ , so daß näherungsweise $Y_{\textrm{S}}=-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3A}}$ $\mathfrak{d}'$ $^{\frac{3}{2}}$ gilt. Die zeitliche Phasenänderung $\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\varphi(t)=-\sqrt{\frac{\mathfrak{d}'}{3A}}=-\xi_{S}$ stimmt mit dem Realteil des Sattelpunktes überein, der sich mit der Gruppengeschwindigkeit $x/t$ bewegt (s. o.).

Bei der Herleitung wurden in Integration nur die quadratische Näherung von $v(z)$ berücksichtigt, obwohl zur näherungsweisen Bestimmung der Nullstellen diese bis zur dritten Potenz als $$v(z)\approx v_{3}^{\pm}(z)=v_{\textrm{S}}^{\pm}-\mathrm{e}^{-2i\alpha^{\pm}}B(z-z_{\textrm{S}}^{\pm})^{2}+iA\thinspace(z-z_{\textrm{S}}^{\pm})^{3}$$ entwickelt wurde. Zum einen erhält man durch die quadratische Reduktion bei der Integration einfache explizite Ausdrücke, zum anderen zeigt eine numerische Analyse, daß der kubische Term gegenüber dem Fehler, welcher durch die ursprüngliche Entwicklung um $z=0$ entsteht, zunächst vernachlässigt werden kann. Letzterer bedingt einen merklichen Phasenfehler bei größeren Zeiten, kann jedoch durch eine Entwicklung in höheren Potenzen unter Berücksichtigung von $v_{3}(z)$ reduziert werden. Dazu verwendet man die Identität $\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v(z)}=\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v_{3}(z)}\mathrm{e}^{\frac{x}{c}(v(z)-v_{3}(z))}$ und entwickelt den hinteren Term in eine Potenzreihe. Speziell für $\varrho=0$ erhält man dann $$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\frac{x}{c}(v(z)-v_{3}(z))} & = & 1+\frac{i}{8}\thinspace\frac{x}{c}\thinspace\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\omega_{0}^{5}\omega_{2}^{3}}\left(4\omega_{0}^{2}+3\omega_{\textrm{P}}^{2}\right)\thinspace z^{5}+\ldots\\ & & -\frac{1}{128}\left(\frac{x}{c}\right)^{2}\frac{\omega_{\textrm{P}}^{4}}{\omega_{0}^{10}\omega_{2}^{10}}\left(4\omega_{0}^{4}+7\omega_{0}^{2}\omega_{\textrm{P}}^{2}+3\omega_{\textrm{P}}^{4}\right)^{2}\thinspace z^{10}+\ldots \end{eqnarray*}$$ Der hintere Term korrigiert den Amplitudenfehler, den der vordere Term verursacht. Die nicht aufgeführten Zwischenterme bewirken nur geringfügige Verbesserungen. Mit der Substitution $z=z_{\textrm{S}}^{\pm}+\varepsilon\mathrm{e}^{i\alpha^{\pm}}$ wird wieder über $\varepsilon$ integriert. Da $\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v_{3}(z)}$ sehr schnell in der Umgebung von $z_{\textrm{S}}^{\pm}$ abfällt, kann man $z$ näherungsweise durch $z_{\textrm{S}}^{\pm}$ ersetzen, so daß man einen konstanten Korrekturfaktor erhält. Durch diesen erreicht man gegenüber (\ref{eq:Brillouin_Vorlaeufer_2}↓) eine Verbesserung im Phasenverhalten.

Jedoch läßt sich dieses Verfahren nicht für beliebig große Zeiten anwenden. Auch weicht die Sattelpunktnäherung dann immer mehr von der tatsächlichen Lage in der Phasenebene ab. Insbesondere streben die zuvor betrachteten, dem Koordinatenursprung nahen, symmetrisch liegenden Sattelpunkte zu den jeweiligen negativ-wertigen Singularitäten des Verzweigungsschnittes, wo das Integral verschwindet. Die Sattelpunktmethode läßt sich jedoch mit den näherungsweise bestimmten Sattelpunkten bis zum Einsetzen des Hauptsignals mit voller Amplitude anwenden und das Integral numerisch auswerten. Zu beachten ist dann, daß der Nenner $z-\omega$ mit weiterer Annäherung von $z_{\textrm{S}}^{+}$ an $\omega$ nicht mehr konstant gehalten werden kann, und ab einem bestimmten Zeitpunkt, der durch $\Re z_{\textrm{S}}^{+}=\omega+\Im z_{\textrm{S}}^{+}$ gegeben ist, schließlich rechtsseitig der Integrationsweg den Pol im Winkel $\alpha^{+}=\frac{\pi}{4}$ passiert, so daß ab diesem das Residuum, welches durch $$\mathrm{res}\left(\frac{\exp\frac{x}{c}v(z,t)}{z-\omega}\right)=2\pi i\thinspace\exp\frac{x}{c}v(\omega,t)$$ gegeben ist, zur Funktion (\ref{eq:Signaldarstellung_Brillouin}↓) beiträgt. Der Zeitpunkt liegt bei $t=\frac{x}{c}\left(\frac{\omega_{2}}{\omega_{0}}+\mathfrak{d}'\right)$ mit $\mathfrak{d}'\approx3A\omega^{2}$ und ist daher von der Schwingungsdauer $\tau$ der anregenden Welle bzw. von $\omega=\frac{2\pi}{\tau}$ abhängig, so daß man stark unterschiedliche Laufzeiten in Abhängigkeit $\omega$ erhält. Mit den obigen Parametern ist $\mathfrak{d}'\approx0,0124$ . Die zu berechnende Signalfunktion läßt sich mittels der Sprungfunktion $H$ durch $$\begin{eqnarray} f(x,t) & = & \frac{1}{2\pi}\Re\intop_{\infty}^{-\infty}\frac{\textrm{d}\varepsilon}{\sqrt{B}}\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v\left(z_{\textrm{S}}^{+}+\frac{\varepsilon}{\sqrt{B}}\mathrm{e}^{i\alpha^{+}}\right)+i\alpha^{+}}}{z_{\textrm{S}}^{+}+\frac{\varepsilon}{\sqrt{B}}\mathrm{e}^{i\alpha^{+}}-\omega}+\frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{c}v\left(z_{\textrm{S}}^{-}+\frac{\varepsilon}{\sqrt{B}}\mathrm{e}^{i\alpha^{-}}\right)+i\alpha^{-}}}{z_{\textrm{S}}^{-}+\frac{\varepsilon}{\sqrt{B}}\mathrm{e}^{i\alpha^{-}}-\omega}\right)+\nonumber \\ & & H(\Re z_{\textrm{S}}^{+}-\omega-\Im z_{\textrm{S}}^{+})\thinspace\Re i\thinspace\exp\frac{x}{c}v(\omega,t)\label{eq:Einschwingen} \end{eqnarray}$$ ausdrücken. Der hintere Term $\Re i\thinspace\exp\frac{x}{c}v(\omega,t)=\exp\left(-k_{i}(\omega)x\right)\sin\left(\omega t-k_{r}(\omega)x\right)$ ist der stationäre Wellenanteil, der auch für größere Zeiten verbleibt. Der vordere Integralterm weist mit dem Einsetzen des Residuums einen Phasensprung auf, siehe Abb. 1↓a.

Nachdem der Sattelpunkt den Pol passiert hat steigt die Signalamplitude rasch auf den Maximalwert an, womit die Ankunft des Signals definiert ist. Bei vernachlässigbarer Absorption kann man als Schwellwert den halben Wert des Maximalamplitude bzw. 1/4 der Maximalsintensität wählen. Für eine gewisse Zeit ist der Integralbeitrag noch als Überlagerung erkennbar, die aber mit der Zeit langsam abklingt, siehe Abb. 2↓. Liegen die Periodendauern des Anregungssignals bei denjenigen, die Frequenzen im Absorptionsband entsprechen, so wird der Pol niemals durch diesen Integrationsweg überquert und der von diesem Sattelpunkt stammende stationäre Anteil bleibt aus.

Für die fernen Sattelpunkte (\ref{eq:Sattelpunkte_fern}↓), bei denen näherungsweise $\xi_{\textrm{S}}=\frac{\omega_{\textrm{P}}}{\sqrt{2\mathfrak{d}}}$ gilt, kann man ebenfalls eine quadratische Entwicklung $$v(z)=v_{\textrm{S}}^{\pm}-B\varepsilon^{2}$$ mit $v_{\textrm{S}}^{\pm}=-\varrho\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}}{\xi_{\textrm{S}}}\right)^{2}\mp i\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}$ , $B=\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}^{3}}$ und $\alpha^{\pm}=\mp\frac{\pi}{4}$ ansetzen, wofür man gemäß der Formel (\ref{eq: Sattelpunktsnaeherung}↓) $$f(x,t)=-\frac{1}{\omega_{\textrm{P}}}\textrm{e}^{-\varrho\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}}{\xi_{\textrm{S}}}\right)^{2}\frac{x}{c}}\sqrt{\frac{c\xi_{\textrm{S}}^{3}}{2\pi x}}\,\Re\left(\frac{\textrm{e}^{-i\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}\frac{x}{c}+\frac{\pi}{4}\right)}}{-2i\varrho+\xi_{\textrm{S}}-\omega}+\frac{\textrm{e}^{+i\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}\frac{x}{c}+\frac{\pi}{4}\right)}}{-2i\varrho-\xi_{\textrm{S}}-\omega}\right)$$ erhält. Für $\xi\gg\omega$ und $\varrho^{2}\ll\omega^{2}$ gilt näherungsweise $$\Re\left(\frac{\textrm{e}^{-i\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}\frac{x}{c}+\frac{\pi}{4}\right)}}{-2i\varrho+\xi_{\textrm{S}}-\omega}+\frac{\textrm{e}^{+i\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}\frac{x}{c}+\frac{\pi}{4}\right)}}{-2i\varrho-\xi_{\textrm{S}}-\omega}\right)\approx\frac{2\omega}{\xi_{\textrm{S}}^{2}}\cos\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}\frac{x}{c}+\frac{\pi}{4}\right)$$ und damit $$\begin{eqnarray*} f(x,t) & \approx & -\frac{\omega}{\omega_{\textrm{P}}}\,\sqrt{\frac{2c}{\pi x\xi_{\textrm{S}}}}\textrm{e}^{-2\varrho\mathfrak{d}\frac{x}{c}}\cos\left(\frac{\omega_{\textrm{P}}^{2}}{\xi_{\textrm{S}}}\frac{x}{c}+\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$$ bzw. unter Berücksichtigung von $\xi_{\textrm{S}}=\omega_{\textrm{P}}\sqrt{\frac{x}{2\mathfrak{\mathfrak{t}}c}}$ ausgedrückt durch $x$ und $\mathfrak{t}$ $$f(x,t)\approx-\frac{\omega}{\sqrt{\pi\omega_{\textrm{P}}^{3}}}\,\left(\frac{2c}{x}\right)^{\frac{3}{4}}\mathfrak{t}^{\frac{1}{4}}\textrm{e}^{-2\varrho\mathfrak{t}}\cos\left(\omega_{\textrm{P}}\sqrt{\frac{2\mathfrak{\mathfrak{t}}x}{c}}+\frac{\pi}{4}\right).$$ Dies ist entsprechend der Brillouinschen Benennung der erste Vorläufer. Die Näherung ist wegen der Forderung nicht zu kleiner Werte $B$ nur für nicht zu kleine retardierte Zeiten $\mathfrak{t}$ gültig, also für nicht zu weit entfernte Werte $\xi_{\textrm{S}}$ vom Koordinatenursprung. Der Abschnitt kleiner retardierter Zeiten ist hingegen der Gültigkeitsbereich des Sommerfeldschen Vorläufers. Jedoch ist der Unterschied beider Vorläuferbeschreibungen mit obigen Parametern bis hin zu sehr kleinen $\mathfrak{t}$ äußerst gering.