13 Binomialverteilte Zufallszahlen

Die Binomial-Verteilung ist ein diskrete Verteilung mit den Parametern $n$ (Anzahl der Realisierungen) und $p$ . Dabei gibt $p$ die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses $b_{1}$ aus der Menge der beiden möglichen Ereignisse $\mathcal{B}=\left\{ b_{1},b_{2}\right\}$ an und somit ist $q=1-p$ die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffens des alternativen Ereignisses $b_{2}$ . Man betrachte nun $n$ Realisierungen, bei denen $k$ -mal ($k=0,1,\ldots$ ) das Elementarereignis $b_{1}$ eintrifft (und $n-k$ -mal das Elementarereignis $b_{2}$ ). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignisse $X=k$ , d. h. das $k$ -malige Eintreffen von $b_{1}$ unter den $n$ möglichen Realisierungen ist dann gegeben durch $$\begin{equation} p_{k}=B(n,p;k)={n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}.\label{eq:URE:Zufallszahlen:Binomialverteilung} \end{equation}$$ Veranschaulichen lässt sich diese Verteilung durch das Galton-Brett. Dieses ist eine mehrstufiger Vorrichtung, bei der z. B. eine Kugel beim Fallen auf eine Hindernis (z. B. auf einen Nagel) triff und bei symmetrischer Aufstellung mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ auf die nächst tieferliegende Stufe entweder nach links oder nach rechts gerade so zwischen den Hindernissen durchfällt. Dieser zufällige Entscheidungsprozess erfolgt Stufe für Stufe, wobei die Kugel in einem der Sammelbehälter mit den Nummern $k=0,1,\ldots,n$ unterhalb der letzten Stufe aufgefangen wird. Man wiederholt nun hinreichend oft diesen Fallversuch und zählt die Anzahl $M(k)$ der Kugeln, welche in einen der Behälter $k$ fallen. Für eine große Zahl von Versuchen $N\rightarrow\infty$ nähert sich der Häufigkeitswert $\frac{M(k)}{N}$ der nach (\ref{eq:URE:Zufallszahlen:Binomialverteilung}↓) gegebenen Wahrscheinlichkeit $p_{k}$ . Diesen Vorgang eines Zufallsprozess bezeichnet man als Bernoulli-Kette. Betrachtete man die Stufennummer ($1,\ldots,n$ ) als Zeitindex einer diskreten Zeitachse, so stellt der Vorgang des Fallens eine Zufallswanderung nach links oder rechts dar, die der Brownschen Bewegung entspricht.