Möchte man die statistischen Kenngrößen wie den Mittelwert. die höheren Momente oder die Varianzen und Korrelationsfunktionen durch Computersimulation bestimmen, ist man auf eine sehr große Anzahl von unabhängigen Realisierungen (Versuche, Durchläufe) angewiesen. Derartige Realisierungen können die Zufallspfade diffundierender Teilchens sein. Idealerweise kann man diese auf einzelne Computer und Prozesse in einem Computer-Cluster oder Computer-Grid verteilen und nach Beendigung (oder in Zwischenstopps) der Simulation diese Kenngrößen aus den Erwartungswerten der Teilprozesse bestimmen. Eine solche Vorgehensweise findet z. B. Anwendung bei der direkten Simulation stochastischer physikalischer Prozesse durch die Monte-Carlo-Methode oder mittels stochastischer zellulärer Automaten. Hierzu ist man auf die schnelle Bereitstellung von Zufallszahlen angewiesen.
Prinzipiell könnte man zur Erzeugung der Zufallszahlen in Computersimulationen natürliche bzw. „echte“ Generatoren etwa Rauschgeneratoren verwenden. Nur sind diese oft zu langsam, möglicherweise gefährlich in der Handhabung [A] [A] falls z. B. radioaktive Quellen eingesetzt werden, zu teuer, unzureichend temperaturstabil oder beinhalten nicht korrigierbare Artefakte. Eine Reproduzierbarkeit damit durchgeführter Versuche etwa zum Zwecke der Verifikation wäre nur dann gegeben, wenn man die Werte in (riesigen) Tabellen speichert. Diese Tabellen sind aber für umfangreiche Simulationen oft nicht groß genug oder würden viel Speicher in einem Computer belegen. Deshalb verwendet man meist künstlich generierte Pseudozufallszahlen, die während der Simulation schnell mittels Algorithmen durch Generatoren bereitgestellt werden können.
Solch deterministisch erzeugte Pseudozufallszahlen können im Idealfall ohne Kenntnis des Algorithmus kaum vorhergesagt werden. Statistische Tests (z. B. für die Unabhängigkeit von Teilfolgen) geben Aufschluss über deren Güte, wobei sie ähnlich gute Eigenschaften aufweisen sollten wie natürliche Zufallszahlen. Insbesondere bei der verteilten Simulation auf mehreren Computern muss man darauf achten, dass die Pseudozufallsgeneratoren selbst voneinander unabhängig sind, da sonst Korrelationen das Gesamtergebnis verfälschen könnten. Nachfolgend wird nicht mehr zwischen natürlichen Zufallszahlen und künstlichen Pseudozufallszahlen unterschieden und eine für die Aufgaben ausreichende Qualität vorausgesetzt.
Besitzt man einen Generator für gleichverteilte Zufallszahlen mit Werten im Intervall , so lassen sich durch die Transformation auch Zufallszahlen mit der Verteilungsfunktion durch Bildung der Umkehrfunktion an der Stelle
erzeugen. Obwohl die Berechnung formal durchführbar ist, z. B. durch Tabellen und Interpolationen oder bei expliziter Kenntnis auch direkt durch die numerische Berechnung, ist es oft vorteilhafter, diese Zufallszahlen durch andere Verfahren schneller zu erzeugen.
Allgemein erhält man für ein -Tupel aus Zufallszahlen und der Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Transformation
ein neues -Tupel aus Zufallszahlen der Wahrscheinlichkeitsdichte
d. h., die Wahrscheinlichkeitsdichte transformiert sich über den Absolutbetrag der Funktionaldeterminanten.[3]
Man kann neue unabhängige Zufallszahlen aus unabhängigen Zufallszahlen auch durch die Methode der Dimensionsreduktion () erhalten, indem man bestimmte funktionale Abhängigkeiten der neuen Variablen von den Variablen mit bekannter Verteilung annimmt. Für und bekommt man unter Verwendung der Diracschen -Funktion (-Distribution) wegen
durch Integration über die Werte mit eine Verteilung der Zufallsvariablen .
Die Verwerfungsmethode, die in ihrer ursprünglichen Form auf J. v. Neumann[5] zurückgeht, ist eine universelle Methode zur Bestimmung von Zufallszahlen für beliebige Verteilungen und ist auch dann anwendbar, wenn die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion nicht einfach zu berechnen oder explizit bekannt ist, sondern nur deren Dichte . Hierzu lässt sich eine beliebige, leicht zu berechnende Dichtefunktion mit bekannter inverser Verteilungsfunktion verwenden, so dass für eine geeignet zu wählende Konstante die Eigenschaft
erfüllt ist. Man bildet das Paar , wobei mit der Dichte zufällig gemäß (\ref{eq:URE:Zufallszahlen:Transformation}↓) und aus einer Gleichverteilung in gewählt wird. Dieses Paar wird nur dann akzeptiert, wenn ist, andernfalls wird es verworfen. Die akzeptierten Werte besitzen dann die geforderte Verteilung. Der Abstand zwischen und sollte so gering wie möglich sein, um möglichst wenige Werte zu verwerfen. Mit einer Umnormierung kann man aus einer Gleichverteilung in wählen, womit nur dann die Paare akzeptiert werden, wenn gilt.
Eine weitere Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen mit der Dichte verwendet die Verhältnismethode [11, 12, 13] von in gleichverteilten Zufallszahlen und . Dazu benötigt man ein Gebiet in der -Ebene mit der Eigenschaft . Wenn die beiden Variablen in dem Gebiet liegen, so ist eine Zufallszahl mit der gewünschten Dichte .
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