Neben den deterministischen Prozessen, etwa in der Mechanik, bei denen der zeitliche Verlauf zumindest prinzipiell nach bekannten Gesetzen und daher vorhersagbar verläuft, gibt es Prozesse, deren Verläufe zufällig sind oder erscheinen und nicht mehr eindeutig prognostiziert werden können. Man kann die Unbestimmtheit des Verlaufs oft auf molekular-chaotische Ursachen zurückführen. Bei vielen Prozessen, so den Quantenprozessen, wird die Zufälligkeit als eine fundamentale Eigenschaft angesehen. Im folgenden soll die Ursächlichkeit des Zufalls nicht weiter hinterfragt und stattdessen dieser als die Ursache oder Kraft ansehen werden, die Veränderung bzw. Bewegung hervorrufen kann. Ein solcher natürlicher Prozess ist die Diffusion. Hierbei unterliegen die Teilchen im mikroskopischen Maßstab gesehen Stöße durch andere Teilchen, deren Richtung und Betrag selbst wieder zufällig ist und von der molekularen Umgebung beeinflusst werden kann. Durch die Folge zufälliger Wechselwirkungen legt das betrachtete Teilchen einen zufälligen Zick-Zack-Kurs zurück. Die Temperatur als Systemparameter bestimmt wesentlich den Prozessverlauf.
Solche zufälligen Vorgänge lassen sich in geeigneter Weise durch statistische Größen mit der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben. Man fasst zeitlich stochastische Prozesse als zufällige Funktion auf, bei der in Abhängig vom nichtzufälligen Prozessparameter Zeit zufällige Funktionswerte angenommen werden. Beispielsweise ist das der Ort des Teilchens bei einer Zufallswanderung oder allgemeiner ein Punkt im Phasenraum (Ort und Impuls). Ein mit der Zeit aufgezeichneter Funktionsgraph, z. B. die Trajektorie oder die Zeitreihe, ist als eine bestimmte Realisierung aller möglichen Prozesse , anzusehen. Mathematisch werden die Prozesse durch Wahrscheinlichkeitsdichten bzw. durch Verteilungsfunktionen beschrieben.
Die Prozesse lassen sich sowohl hinsichtlich der Zeit als auch der möglichen Funktionswerte (bzw. für beide) in diskrete und stetige einteilen. Zeitlich diskrete Prozesse mit einer diskreten/stetigen Zustandsmenge werden zufällige Ketten/Folgen genannt. Die entsprechenden zeitlich stetigen Prozesse werden als diskrete/stetige Zufallsprozesse bezeichnet. Von besonderer Bedeutung sind stationäre stochastische Prozesse. Sie sind vom Betrachtungszeitpunkt unabhängig. Insbesondere gilt diese Zeitinvarianz für die Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. die Verteilungsfunktion. Dazu müssen die Prozessbedingungen wie die Temperatur konstant gehalten werden. Die gewöhnliche Diffusion gehört zu den stationären Prozessen.
Man unterscheidet die stochastischen Prozesse auch hinsichtlich ihrer Abhängigkeit von den Zuständen zurückliegender Zeitpunkte. Besteht überhaupt kein solcher Zusammenhang, dann wird der Prozess als rein stochastisch bezeichnet. Zu ihnen gehören z. B. Rauschprozesse. Wird der aktuelle Prozesszustand nur vom unmittelbar vorangegangen Zustand beeinflusst, so bezeichnet man diesen als Markov-Prozess. Die Prozesse können auch entsprechend ihrer Ordnung von noch weiter zurückliegenden Zuständen klassifiziert werden. Hängt ein solcher Prozess von allen vorangegangen Zuständen, insbesondere vom Startpunkt ab, so wird er als nicht-Markovsch bezeichnet. In guter Näherung können viele Prozesse als Markov-Prozesse angesehen werden. Für derartige diskrete Prozesse lässt sich dann eine Master-Gleichung für die Besetzungswahrscheinlichkeiten des Zustandes mittels der Übergangswahrscheinlichkeiten (genauer Raten)
aufstellen. Summiert wird über alle möglichen Zustände , die in den Zustand (Zufluss) bzw. aus dem Zustand (Abfluss) führen. Bei diesen Zuständen kann es sich um diskrete Energiezustände, aber auch um diskrete Punkte im Raum handeln. Im letzten Fall betrachtet man z. B. räumliche Übergänge wie die Diffusion auf Gittern.
Für Markov-Prozesse mit einer stetigen Zustandsmenge gilt für die Übergangswahrscheinlichkeitsdichten von einem Anfangszustand 1 in einen Endzustand 2 mit einem beliebigen Zwischenzeitpunkt , , die Chapman-Kolmogorov-Gleichung
Die diskrete Form der Beschreibung solcher Prozesse nennt man Markov-Ketten. Genauer spricht man dann von zufälligen Ketten, wenn der Prozess zeitlich diskret in einem diskreten Zustandsraum erfolgt. Insbesondere gehört hierzu die zeitlich-diskrete Zufallswanderung wie man sie mit dem Computer auf einem Gitter durch Sprünge realisiert. Eine natürliche Diskretisierung des Raumes kann etwa durch die Atome in einem Gitter vorliegen. Die zufälligen, zeitlichen Prozesse erfolgen hingegen in der Natur zumeist kontinuierlich, etwa als Poisson-Prozess, lassen sich aber näherungsweise oft durch die mittlere Sprungzeit oder durch eine mittlere Sprungrate (Frequenz) diskret beschreiben.