Korrelationsfunktionen

Viele physikalische Stoffeigenschaften wie Diffusionskonstanten oder Suszeptibilitäten werden durch Korrelationsfunktionen definiert und sind ein Maß für die Wechselwirkung der ablaufenden physikalischen Prozesse. Insbesondere sollen hier stationäre zeitliche Prozesse mit Mittelwerten betrachtet. Allgemein können die Realisierungen auch komplexzahlige Werte annehmen. Außerdem wird der im zeitlichen Fenster durch definierte Prozess mit der Eigenschaft eingeführt.
Die zeitliche Autokorrelationsfunktion beschreibt die Korrelation zweier um die Differenz verschobener Prozesswerte desselben stochastischen Prozesses . Sie wird mittels der konjugiert komplexen Größe über den zeitlichen Mittelwert durch definiert und besitzt die Symmetrieeigenschaft . Sie ist wegen stets reell. Für nimmt sie ihr Maximum an und muss für verschwinden, d. h. . Oftmals lassen sich die Prozesse näherungsweise durch eine exponentiell fallende Korrelationsfunktion beschreiben.
Man kann die Autokorrelationsfunktion jedoch auch zu den zwei Zeitpunkten und über das Ensemblemittel über die Realisierungen des Prozesses durch definieren. Im Falle zweier unterschiedlicher reelwertiger Prozesse und mit bzw. lässt sich die zeitliche Kreuzkorrelationsfunktion durch bzw. durch bestimmen. Mittels der Fourier-Transformation der im Zeitfenster definierten Funktion lässt sich die Spektraldichte (Leistungsspektrum) bzw. durch definieren und es gilt die Beziehung Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem bestehen zwischen der Autokorrelationsfunktion und der Spektraldichte die Zusammenhänge Die zuvor erwähnten exponentiell abfallenden Korrelationsfunktionen werden dann als Spektraldichten im Frequenzbild durch Lorentz-Kurven dargestellt. Je kürzer die Korrelationszeit, desto breiter erscheint hierfür die Spektraldichte und im Grenzfall gegen Null wird diese eine konstante Funktion. [1]

Literaturverzeichnis

[1] Vojta, G.; Vojta, M.: Teubner-Taschenbuch der statistischen Physik. B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 2000.